Решением неравенства является множество

Решение:

Для решения этого неравенства \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3}} > 9\) преобразуем правую часть, представив 9 как степень \(\frac{1}{3}\).

\(9 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)

Теперь неравенство имеет вид: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3}} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)

Так как основание степени \(\frac{1}{3}\) меньше 1, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: \[\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} < -2\]

Перенесем -2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: \[\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} + 2 < 0\] \[\frac{x^2+4x+6 + 2(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} < 0\] \[\frac{x^2+4x+6 + 2x^2-8x+6}{x^2-4x+3} < 0\] \[\frac{3x^2-4x+12}{x^2-4x+3} < 0\]

Рассмотрим числитель: \(3x^2-4x+12\). Его дискриминант \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 16 - 144 = -128 < 0\). Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при \(x^2\) положителен, то числитель всегда положителен.

Следовательно, знак дроби зависит только от знаменателя: \[x^2-4x+3 < 0\] \[(x-1)(x-3) < 0\]

Решим это неравенство методом интервалов. Корни знаменателя: \(x = 1\) и \(x = 3\). На числовой прямой отмечаем эти точки и определяем знаки на каждом интервале: