Решением неравенства (0,2)^(2x-3)/(x-2) ≥ 5 является множество

Решение:

Данное неравенство является показательным. Для его решения преобразуем основание 0,2 в дробь: \( 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} \).

Подставим это в неравенство:

\[ (5^{-1})^{\frac{2x-3}{x-2}} \ge 5 \]

Применяем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ 5^{-\frac{2x-3}{x-2}} \ge 5^1 \]

Так как основание степени \( 5 > 1 \), при переходе от степеней к показателям знак неравенства сохраняется:

\[ -\frac{2x-3}{x-2} \ge 1 \]

Умножим обе части на \( -1 \) и изменим знак неравенства:

\[ \frac{2x-3}{x-2} \le -1 \]

Перенесём \( -1 \) в левую часть:

\[ \frac{2x-3}{x-2} + 1 \le 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{2x-3 + (x-2)}{x-2} \le 0 \]

\[ \frac{3x-5}{x-2} \le 0 \]

Решим методом интервалов. Найдём корни числителя и знаменателя:

\( 3x-5 = 0 \implies x = \frac{5}{3} \)

\( x-2 = 0 \implies x = 2 \)

Разобьём числовую ось на интервалы: \( (-\infty; \frac{5}{3}] \), \( [\frac{5}{3}; 2) \), \( (2; +\infty) \).

Тестируем знаки выражения \( \frac{3x-5}{x-2} \):

• При \( x = 0 \): \( \frac{-5}{-2} = 2,5 > 0 \)
• При \( x = \frac{5}{3} = 1,66... \) (например, \( x = 1,8 \)): \( \frac{3(1,8)-5}{1,8-2} = \frac{5,4-5}{-0,2} = \frac{0,4}{-0,2} = -2 < 0 \)
• При \( x = 3 \): \( \frac{3(3)-5}{3-2} = \frac{9-5}{1} = 4 > 0 \)

Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \). Значит, подходят интервалы \( (-\infty; \frac{5}{3}] \) и \( (2; +\infty) \).

Однако, в исходном неравенстве основание \( 0,2 \) находится в степени \( \frac{2x-3}{x-2} \). Знаменатель \( x-2 \) не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq 2 \).

Также, поскольку основание \( 0,2 < 1 \), при переходе от степеней к показателям знак неравенства должен меняться. Давайте проверим это:

\( 5^{-\frac{2x-3}{x-2}} \ge 5^1 \) \( \implies -\frac{2x-3}{x-2} \ge 1 \)

Если бы основание было \( > 1 \), то \( \frac{2x-3}{x-2} \ge 1 \).

Вернёмся к \( -\frac{2x-3}{x-2} \ge 1 \). Умножим на \( -1 \):

\( \frac{2x-3}{x-2} \le -1 \)

\( \frac{2x-3}{x-2} + 1 \le 0 \)

\( \frac{2x-3+x-2}{x-2} \le 0 \)

\( \frac{3x-5}{x-2} \le 0 \)

Решением этого неравенства является \( x \in [\frac{5}{3}; 2) \).

Давайте ещё раз проверим исходное неравенство и логику:

\( (0,2)^{\frac{2x-3}{x-2}} \ge 5 \) \( \implies (5^{-1})^{\frac{2x-3}{x-2}} \ge 5^1 \) \( \implies 5^{-\frac{2x-3}{x-2}} \ge 5^1 \)

Так как \( 5 > 1 \), то показатели степени сравниваются в том же направлении:

\( -\frac{2x-3}{x-2} \ge 1 \)

\( \frac{2x-3}{x-2} \le -1 \)

\( \frac{2x-3}{x-2} + 1 \le 0 \)

\( \frac{2x-3+x-2}{x-2} \le 0 \)

\( \frac{3x-5}{x-2} \le 0 \)

Корни: \( x = \frac{5}{3} \) и \( x = 2 \).

Расставим знаки на числовой оси:

- | + | -

----(\(\frac{5}{3}\))----(2)----

Нам нужно, чтобы \( \frac{3x-5}{x-2} \le 0 \). Это соответствует интервалу \( [\frac{5}{3}; 2) \).

Ответ: d. [\( \frac{5}{3}; 2) \)