Решением неравенства \(\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} > 9\) является множество

Решение:

Дано неравенство: \( \frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} > 9 \)

1. Перенесём 9 в левую часть, чтобы получить ноль справа: \( \frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} - 9 > 0 \)
2. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{x^2+4x+6 - 9(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} > 0 \)
3. Раскроем скобки в числителе: \( \frac{x^2+4x+6 - 9x^2+36x-27}{x^2-4x+3} > 0 \)
4. Упростим числитель: \( \frac{-8x^2+40x-21}{x^2-4x+3} > 0 \)
5. Решим уравнение \( -8x^2+40x-21=0 \) для нахождения корней числителя: \( D = 40^2 - 4(-8)(-21) = 1600 - 672 = 928 \). \( x = \frac{-40 \pm \sqrt{928}}{-16} = \frac{-40 \pm 4\sqrt{58}}{-16} = \frac{40 \mp 4\sqrt{58}}{16} = \frac{10 \mp \sqrt{58}}{4} \). \( x_1 = \frac{10 - \sqrt{58}}{4} \approx \frac{10-7.6}{4} \approx 0.6 \), \( x_2 = \frac{10 + \sqrt{58}}{4} \approx \frac{10+7.6}{4} \approx 4.4 \).
6. Решим уравнение \( x^2-4x+3=0 \) для нахождения корней знаменателя: \( (x-1)(x-3)=0 \). Корни: \( x=1 \) и \( x=3 \).
7. Теперь у нас есть четыре критические точки: \( \frac{10 - \sqrt{58}}{4} \), 1, 3, \( \frac{10 + \sqrt{58}}{4} \).
8. Расположим их на числовой оси: \( \frac{10 - \sqrt{58}}{4} \) (прим. 0.6), 1, 3, \( \frac{10 + \sqrt{58}}{4} \) (прим. 4.4).
9. Определим знаки на интервалах. Возьмём пробную точку, например, \( x=0 \): \( \frac{-21}{3} = -7 < 0 \).
10. Разобьём числовую ось на интервалы и определим знаки дроби \( \frac{-8x^2+40x-21}{x^2-4x+3} \):
• \( (-\infty; \frac{10 - \sqrt{58}}{4}) \): \( \frac{+}{-} = - \)
• \( (\frac{10 - \sqrt{58}}{4}; 1) \): \( \frac{-}{-} = + \)
• \( (1; 3) \): \( \frac{-}{+} = - \)
• \( (3; \frac{10 + \sqrt{58}}{4}) \): \( \frac{-}{+} = - \)
• \( (\frac{10 + \sqrt{58}}{4}; +\infty) \): \( \frac{-}{+} = - \)
11. Нам нужен интервал, где дробь больше нуля. Это \( (\frac{10 - \sqrt{58}}{4}; 1) \).

Ответ: \( (\frac{10 - \sqrt{58}}{4}; 1) \).