Решением неравенства \(\left(0,2\right)^{\frac{2x-3}{x-2}} \geq 5\) является множество

Решение:

Данное неравенство является показательным. Основание степени \( 0,2 = \frac{1}{5} \) меньше 1. При переходе к новому основанию (или при логарифмировании) знак неравенства меняется на противоположный.

Запишем 5 как степень с основанием \( \frac{1}{5} \): \( 5 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} \).

Тогда исходное неравенство примет вид:

\[\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{2x-3}{x-2}} \geq \left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\]

Так как основание степени \( \frac{1}{5} < 1 \), то показатель степени, соответствующий большей величине, будет меньше:

\[\frac{2x-3}{x-2} \leq -1\]

Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

\[\frac{2x-3}{x-2} + 1 \leq 0\]\[\frac{2x-3 + (x-2)}{x-2} \leq 0\]\[\frac{3x-5}{x-2} \leq 0\]

Решим полученное дробно-рациональное неравенство методом интервалов.

Найдём корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( 3x-5 = 0 \) \( \Rightarrow x = \frac{5}{3} \)
• Знаменатель: \( x-2 = 0 \) \( \Rightarrow x = 2 \)

Нанесём корни на числовую ось. Число \( x = 2 \) — полюс (знаменатель обращается в ноль), поэтому он будет выколот. Число \( x = \frac{5}{3} \) — корень числителя (неравенство нестрогое \( \leq \)), поэтому он будет закрашен.

Разобьём числовую ось на интервалы и определим знаки выражения \( \frac{3x-5}{x-2} \) на каждом интервале:

• При \( x < \frac{5}{3} \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{3(0)-5}{0-2} = \frac{-5}{-2} = 2,5 > 0 \)
• При \( \frac{5}{3} < x < 2 \) (например, \( x=1,8 \)): \( \frac{3(1.8)-5}{1.8-2} = \frac{5.4-5}{-0.2} = \frac{0.4}{-0.2} = -2 < 0 \)
• При \( x > 2 \) (например, \( x=3 \)): \( \frac{3(3)-5}{3-2} = \frac{9-5}{1} = 4 > 0 \)

Нам нужно, чтобы выражение было \( \leq 0 \), то есть отрицательным или равным нулю. Это соответствует интервалу \( \frac{5}{3} \leq x < 2 \).

Таким образом, решением неравенства является промежуток \(\left[\frac{5}{3}; 2\right)\).