Решение Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 97). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точ- ке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой №. Проведём прямую М№ и докажем, что эта прямая искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а. В самом деле, треугольники АММ и ВММ равны по трем сторонам, поэтому 21 = 22. Отсюда следует, что отрезок МС (С - точка пересечения прямых а и ММ) является биссектри сой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, М№ 1 АВ, т. е. М№ 1 а. Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) ме- диану ВМ; в) высоту СН треугольника. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный- a) 45°; б) 22°30′.

a) Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки:

1. От вершины угла (точка A) циркулем откладываем дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла в точках, например, B и C.
2. Из точек B и C, как из центров, проводим две дуги одинаковым радиусом (большим, чем половина расстояния между B и C), так чтобы они пересеклись в некоторой точке D.
3. Проводим прямую линию от вершины угла A через точку D. Эта линия и есть биссектриса угла BAC.

б) Построение медианы треугольника:

1. Пусть дан треугольник ABC. Нужно построить медиану из вершины B.
2. Находим середину стороны AC. Для этого циркулем проводим две дуги из точек A и C радиусом, большим половины длины AC.
3. Соединяем точки пересечения этих дуг прямой линией. Точка, где эта линия пересекает AC, является серединой AC (назовем её M).
4. Проводим отрезок BM. Этот отрезок является медианой треугольника ABC.

в) Построение высоты треугольника:

1. Пусть дан треугольник ABC. Нужно построить высоту из вершины C к стороне AB.
2. Из точки C проводим дугу циркулем так, чтобы она пересекала сторону AB в двух точках (назовем их D и E). Если сторона AB слишком короткая, её нужно предварительно продолжить.
3. Из точек D и E проводим две дуги одинаковым радиусом, большим половины расстояния между D и E, так чтобы они пересеклись в некоторой точке F.
4. Проводим прямую линию через точки C и F. Отрезок этой прямой от точки C до стороны AB (или её продолжения) является высотой треугольника ABC.

Построение угла с помощью циркуля и линейки:

a) Построение угла 45°:

1. Построить прямой угол (90°). Для этого строим прямую линию и перпендикуляр к ней в некоторой точке.
2. Разделить прямой угол пополам (построить биссектрису прямого угла). Полученный угол будет равен 45°.

б) Построение угла 22°30′:

1. Построить угол 45° (как описано выше).
2. Разделить угол 45° пополам. Полученный угол будет равен 22°30′.

Ответ: описаны этапы построения биссектрисы, медианы, высоты треугольника и углов 45° и 22°30′.