Решению неравенства \(\sqrt{x^2 - x - 3} > 3\) соответствует интервал ...

Решение:

Чтобы решить неравенство \(\sqrt{x^2 - x - 3} > 3\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x^2 - x - 3 \geq 0 \).
   Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 3 = 0 \):
   \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \]
   Таким образом, \( x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{13}}{2}; +\infty\right) \).
   Приблизительно \(\sqrt{13} \approx 3.6\), поэтому \(\frac{1 - \sqrt{13}}{2} \approx -1.3\) и \(\frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx 2.3\).
2. Возведём обе части неравенства в квадрат:
   Так как обе части неравенства \(\sqrt{x^2 - x - 3} > 3\) неотрицательны, можно возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
   \[ x^2 - x - 3 > 3^2 \]
   \[ x^2 - x - 3 > 9 \]
   \[ x^2 - x - 12 > 0 \]
3. Решим полученное квадратное неравенство:
   Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 12 = 0 \):
   \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \]
   Корни: \( x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \>.
   Парабола \( y = x^2 - x - 12 \) направлена ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - x - 12 > 0 \) выполняется при \( x < -3 \) или \( x > 4 \).
   Таким образом, \( x \in \left(-\infty; -3\right) \cup \left(4; +\infty\right) \).
4. Найдем пересечение решений ОДЗ и квадратного неравенства:
   ОДЗ: \( x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{13}}{2}; +\infty\right) \) (приблизительно \( x \in (-\infty; -1.3] \cup [2.3; +\infty)\) )
   Решение квадратного неравенства: \( x \in \left(-\infty; -3\right) \cup \left(4; +\infty\right) \)
   Пересечением этих двух множеств является \( x \in \left(-\infty; -3\right) \cup \left(4; +\infty\right) \).

Ответ: \( \left(-\infty; -3\right) \cup \left(4; +\infty\right) \).