Решеть нер-ва. 1) 3x²-12x+12 2x + 3 ≤0 ( 2) 2x² - 12x+18.40 3) (x²+2-6).(x²+2-12) 20 22 2-6 ≤x 5) (7-x). (x²-49) ≥0. 20 61 1 X-6.

1) \(\frac{3x^2-12x+12}{x+3} \le 0\)

Преобразуем числитель:

\(3x^2 - 12x + 12 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3(x-2)^2\)

Тогда неравенство примет вид:

\(\frac{3(x-2)^2}{x+3} \le 0\)

Так как квадрат всегда неотрицателен, то числитель всегда больше или равен нулю.

Единственное решение числителя: \(x = 2\)

Знаменатель должен быть отрицательным, то есть \(x + 3 < 0\), откуда \(x < -3\)

Объединяем решения: \(x < -3\) или \(x = 2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup \{2\}\)

2) \(\frac{2x^2 - 12x + 18}{x+4} \le 0\)

Преобразуем числитель:

\(2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x-3)^2\)

Тогда неравенство примет вид:

\(\frac{2(x-3)^2}{x+4} \le 0\)

Числитель всегда неотрицателен. Единственное решение числителя: \(x = 3\)

Знаменатель должен быть отрицательным, то есть \(x + 4 < 0\), откуда \(x < -4\)

Объединяем решения: \(x < -4\) или \(x = 3\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup \{3\}\)

3) \((x^2 + 2x - 6)(x^2 + 2x - 12) \le 0\)

Пусть \(y = x^2 + 2x\). Тогда неравенство примет вид:

\((y - 6)(y - 12) \le 0\)

Решаем неравенство относительно \(y\):

\(6 \le y \le 12\)

Возвращаемся к \(x\):

\(6 \le x^2 + 2x \le 12\)

Решаем два неравенства:

1. \(x^2 + 2x \ge 6\)

   \(x^2 + 2x - 6 \ge 0\)

   Корни: \(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}\)

   Решение: \(x \in (-\infty; -1 - \sqrt{7}] \cup [-1 + \sqrt{7}; +\infty)\)

2. \(x^2 + 2x \le 12\)

   \(x^2 + 2x - 12 \le 0\)

   Корни: \(x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2} = -1 \pm \sqrt{13}\)

   Решение: \(x \in [-1 - \sqrt{13}; -1 + \sqrt{13}]\)

Объединяем решения: \(x \in [-1 - \sqrt{13}; -1 - \sqrt{7}] \cup [-1 + \sqrt{7}; -1 + \sqrt{13}]\)

Ответ: \(x \in [-1 - \sqrt{13}; -1 - \sqrt{7}] \cup [-1 + \sqrt{7}; -1 + \sqrt{13}]\)

4) \(\frac{x^2}{x-6} \le x\)

Переносим \(x\) в левую часть:

\(\frac{x^2}{x-6} - x \le 0\)

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{x^2 - x(x-6)}{x-6} \le 0\)

Упрощаем:

\(\frac{6x}{x-6} \le 0\)

Находим критические точки: \(x = 0\) и \(x = 6\)

Анализируем знаки на числовой прямой:

Решение: \(x \in [0; 6)\)

Ответ: \(x \in [0; 6)\)

5) \((7-x)(x^2 - 49) \ge 0\)

Раскладываем на множители:

\((7-x)(x-7)(x+7) \ge 0\)

Или:

\(-(x-7)^2(x+7) \ge 0\)

Умножаем на -1, меняем знак неравенства:

\((x-7)^2(x+7) \le 0\)

Критические точки: \(x = 7\) и \(x = -7\)

Решение: \(x \in (-\infty; -7] \cup \{7\}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -7] \cup \{7\}\)

6) \(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x-6}\)

Переносим все в одну сторону:

\(\frac{1}{x} - \frac{1}{x-6} \ge 0\)

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{x-6 - x}{x(x-6)} \ge 0\)

Упрощаем:

\(\frac{-6}{x(x-6)} \ge 0\)

Умножаем на -1, меняем знак неравенства:

\(\frac{6}{x(x-6)} \le 0\)

Знаменатель должен быть отрицательным:

\(x(x-6) < 0\)

Решение: \(x \in (0; 6)\)

Ответ: \(x \in (0; 6)\)