Реши дифференциальное уравнение y'sin x = y lny

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Перепишем уравнение в виде:

\[ \frac{dy}{dx} \sin x = y \ln y \]\[ \frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{\sin x} \]

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

\[ \int \frac{dy}{y \ln y} = \int \frac{dx}{\sin x} \]

Для левой части сделаем замену \( u = \ln y \), тогда \( du = \frac{1}{y} dy \). Интеграл примет вид:

\[ \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln|\ln y| + C_1 \]

Для правой части используем формулу \( \sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2) \) и \( \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} \cdot \frac{1}{2 \sin^2(x/2)} = \frac{\tan(x/2)}{2 \sin^2(x/2)} \) или преобразуем через \(\cot x\):

\[ \int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} dx \]

Сделаем замену \( v = \cos x \), тогда \( dv = -\sin x dx \).

\[ -\int \frac{dv}{1 - v^2} = -\int \frac{dv}{(1-v)(1+v)} \]

Используем разложение на простые дроби:

\[ -\int \left( \frac{A}{1-v} + \frac{B}{1+v} \right) dv = -\left( \int \frac{A}{1-v} dv + \int \frac{B}{1+v} dv \right) \]

При \( v = 1 \), \( 1 = A(2) \Rightarrow A = 1/2 \). При \( v = -1 \), \( 1 = B(2) \Rightarrow B = 1/2 \).

\[ -\left( \frac{1}{2} \int \frac{dv}{1-v} + \frac{1}{2} \int \frac{dv}{1+v} \right) = -\frac{1}{2} \left( -\ln|1-v| + \ln|1+v| \right) + C_2 = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{1+v}{1-v}\right| + C_2 \]

Подставляем \( v = \cos x \):

\[ \frac{1}{2} \ln\left|\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right| + C_2 = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin^2(x/2)}\right| + C_2 = \frac{1}{2} \ln(\cot^2(x/2)) + C_2 = \ln|\cot(x/2)| + C_2 \]

Приравниваем результаты интегрирования:

\[ \ln|\ln y| = \ln|\cot(x/2)| + C_2 \]

Где \( C_2 = \ln|C| \) для некоторой константы \( C \).

\[ \ln|\ln y| = \ln|C \cot(x/2)| \]

Избавляемся от логарифма:

\[ |\ln y| = |C \cot(x/2)| \]

Таким образом, общее решение имеет вид:

\[ \ln y = C \cot(x/2) \]

или

\[ y = e^{C \cot(x/2)} \]

Также стоит рассмотреть частные случаи, когда \( y=1 \) (тогда \( y'=0 \)) и \( y=0 \) (что не входит в область определения \(\ln y\)).

Если \( y=1 \), то \( y'=0 \). Подставляем в уравнение: \( 0 \cdot \sin x = 1 \cdot \ln 1 \Rightarrow 0 = 0 \). Значит, \( y=1 \) — частное решение.

Ответ: \( y = e^{C \cot(x/2)} \) и \( y = 1 \).