Реши неравенство: 1.√x + 3 > 2 2.√2x - 1 ≤ 3 3. √x2 – 5x + 6>0 - 4.√x + 2 < x 5.√3x - 2 ≥ √x + 1 6.√x - 1 + √x + 2 ≤ 3 7.√x²-4 > x - 1

Решим каждое неравенство пошагово:

1. $$\sqrt{x + 3} > 2$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$x + 3 > 4$$

   $$x > 1$$

   Ограничение: $$x + 3 ≥ 0$$, следовательно, $$x ≥ -3$$.

   Итоговое решение: $$x > 1$$

   Ответ: $$x > 1$$

2. $$\sqrt{2x - 1} ≤ 3$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$2x - 1 ≤ 9$$

   $$2x ≤ 10$$

   $$x ≤ 5$$

   Ограничение: $$2x - 1 ≥ 0$$, следовательно, $$x ≥ \frac{1}{2}$$.

   Итоговое решение: $$\frac{1}{2} ≤ x ≤ 5$$

   Ответ: $$\frac{1}{2} ≤ x ≤ 5$$

3. $$\sqrt{x^2 – 5x + 6} > 0$$

   Выражение под корнем должно быть больше нуля:

   $$x^2 – 5x + 6 > 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 – 5x + 6 = 0$$:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

   $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

   $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

   Решением неравенства $$x^2 – 5x + 6 > 0$$ является $$x < 2$$ или $$x > 3$$.

   Ответ: $$x < 2$$ или $$x > 3$$

4. $$\sqrt{x + 2} < x$$

   Ограничение: $$x + 2 ≥ 0$$, следовательно, $$x ≥ -2$$. Также $$x > 0$$, так как $$\sqrt{x + 2} ≥ 0$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$x + 2 < x^2$$

   $$x^2 - x - 2 > 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - x - 2 = 0$$:

   $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

   $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

   $$x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

   Решением неравенства $$x^2 - x - 2 > 0$$ является $$x < -1$$ или $$x > 2$$.

   Учитывая ограничения, итоговое решение: $$x > 2$$

   Ответ: $$x > 2$$

5. $$\sqrt{3x - 2} ≥ \sqrt{x + 1}$$

   Ограничения: $$3x - 2 ≥ 0$$ и $$x + 1 ≥ 0$$, следовательно, $$x ≥ \frac{2}{3}$$ и $$x ≥ -1$$. Значит, $$x ≥ \frac{2}{3}$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$3x - 2 ≥ x + 1$$

   $$2x ≥ 3$$

   $$x ≥ \frac{3}{2}$$

   Итоговое решение: $$x ≥ \frac{3}{2}$$

   Ответ: $$x ≥ \frac{3}{2}$$

6. $$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2} ≤ 3$$

   Ограничения: $$x - 1 ≥ 0$$ и $$x + 2 ≥ 0$$, следовательно, $$x ≥ 1$$.

   $$\sqrt{x - 1} ≤ 3 - \sqrt{x + 2}$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$x - 1 ≤ 9 - 6\sqrt{x + 2} + x + 2$$

   $$x - 1 ≤ x + 11 - 6\sqrt{x + 2}$$

   $$6\sqrt{x + 2} ≤ 12$$

   $$\sqrt{x + 2} ≤ 2$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$x + 2 ≤ 4$$

   $$x ≤ 2$$

   Итоговое решение: $$1 ≤ x ≤ 2$$

   Ответ: $$1 ≤ x ≤ 2$$

7. $$\sqrt{x^2 - 4} > x - 1$$

   Ограничение: $$x^2 - 4 ≥ 0$$, следовательно, $$x ≤ -2$$ или $$x ≥ 2$$.

   Если $$x - 1 < 0$$, то есть $$x < 1$$, то неравенство выполняется при $$x ≤ -2$$.

   Если $$x - 1 ≥ 0$$, то есть $$x ≥ 1$$, возведем обе части в квадрат:

   $$x^2 - 4 > (x - 1)^2$$

   $$x^2 - 4 > x^2 - 2x + 1$$

   $$2x > 5$$

   $$x > \frac{5}{2}$$

   Итоговое решение: $$x ≤ -2$$ или $$x > \frac{5}{2}$$

   Ответ: $$x ≤ -2$$ или $$x > \frac{5}{2}$$