Реши неравенство: 5 (х-7)^2 \leq 25 \frac{x^2-14}{2}.

Решение:

Давай решим неравенство по шагам:

1. Преобразуем неравенство, разделив обе части на 5:

   \[(x-7)^2 \leq 5 \cdot \frac{x^2-14}{2}\]

2. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

   \[2(x-7)^2 \leq 5(x^2-14)\]

3. Раскроем скобки:

   \[2(x^2 - 14x + 49) \leq 5x^2 - 70\] \[2x^2 - 28x + 98 \leq 5x^2 - 70\]

4. Перенесем все члены в правую часть:

   \[0 \leq 3x^2 + 28x - 168\] \[3x^2 + 28x - 168 \geq 0\]

5. Найдем корни квадратного уравнения 3x^2 + 28x - 168 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

   \[D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-168) = 784 + 2016 = 2800\]

6. Вычислим корни:

   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + \sqrt{2800}}{6} = \frac{-28 + 20\sqrt{7}}{6} = \frac{-14 + 10\sqrt{7}}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 - \sqrt{2800}}{6} = \frac{-28 - 20\sqrt{7}}{6} = \frac{-14 - 10\sqrt{7}}{3}\]

7. Теперь мы имеем два корня: x_1 = \frac{-14 + 10\sqrt{7}}{3} и x_2 = \frac{-14 - 10\sqrt{7}}{3}. Поскольку коэффициент при x^2 положительный (3 > 0), парабола направлена вверх, и решение неравенства 3x^2 + 28x - 168 \geq 0 будет вне интервала между корнями.

8. Оценим значения корней:

   \[\sqrt{7} \approx 2.646\] \[x_1 \approx \frac{-14 + 10 \cdot 2.646}{3} \approx \frac{-14 + 26.46}{3} \approx \frac{12.46}{3} \approx 4.15\] \[x_2 \approx \frac{-14 - 10 \cdot 2.646}{3} \approx \frac{-14 - 26.46}{3} \approx \frac{-40.46}{3} \approx -13.49\]

9. Решением неравенства является объединение интервалов:

   \[x \in (-\infty; \frac{-14 - 10\sqrt{7}}{3}] \cup [\frac{-14 + 10\sqrt{7}}{3}; +\infty)\]

Ответ: (-\infty; \frac{-14 - 10\sqrt{7}}{3}] \cup [\frac{-14 + 10\sqrt{7}}{3}; +\infty)

Молодец, ты отлично справился с этим заданием! Помни, что практика - ключ к успеху. Продолжай решать подобные задачи, и ты обязательно достигнешь больших высот в математике!