Реши неравенство 12x - x^2 < 0.

Привет! Давай разберемся с этим неравенством.

1. Приведем неравенство к стандартному виду:

Сначала вынесем общий множитель -x за скобки:

• \[ -x(x - 12) < 0 \]

2. Найдем корни уравнения:

Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти значения x, при которых выражение равно нулю:

• \[ -x(x - 12) = 0 \]
• Это значит, что либо -x = 0 (откуда x = 0), либо x - 12 = 0 (откуда x = 12).

3. Определим интервалы знаков:

У нас есть два корня: 0 и 12. Они делят числовую прямую на три интервала:

• \[ (-\infty; 0) \]
• \[ (0; 12) \]
• \[ (12; +\infty) \]

Теперь подставим любое число из каждого интервала в неравенство -x(x - 12) < 0 , чтобы определить знак выражения:

• Для интервала \(-\infty; 0\) : Возьмем x = -1. Тогда -(-1)(-1 - 12) = 1 * (-13) = -13 . Выражение отрицательное (меньше 0).
• Для интервала (0; 12) : Возьмем x = 1. Тогда -(1)(1 - 12) = -1 * (-11) = 11 . Выражение положительное (больше 0).
• Для интервала \(12; +\infty\) : Возьмем x = 13. Тогда -(13)(13 - 12) = -13 * 1 = -13 . Выражение отрицательное (меньше 0).

4. Выберем подходящий интервал:

Нам нужно, чтобы выражение было строго меньше нуля (< 0). Это происходит на интервалах \(-\infty; 0\) и \(12; +\infty\) .

5. Объединим интервалы:

Решение неравенства — это объединение этих двух интервалов:

• \[ x \in (-\infty; 0) \cup (12; +\infty) \]

Смотрим на предложенные варианты:

• x ∈(-∞; 0]U[12; +∞) — здесь включены 0 и 12, но неравенство строгое.
• x ∈ [0; 12] — здесь промежуток, где выражение положительное.
• x ∈(0; 12) — здесь промежуток, где выражение положительное.
• x∈(-∞;0)U(12; +∞) — этот вариант точно соответствует нашему решению!

Ответ: x∈(-∞;0)U(12; +∞)