Реши неравенство: log₁/₃ (x − 6) − log₁/₃ (x + 1)> −1. Выбери верный вариант.

Решим неравенство: $$log_{\frac{1}{3}}(x-6) - log_{\frac{1}{3}}(x+1) > -1$$

ОДЗ (область допустимых значений):

• $$x - 6 > 0$$
• $$x + 1 > 0$$

Решаем первое неравенство:

• $$x > 6$$

Решаем второе неравенство:

• $$x > -1$$

Пересечение решений: $$x > 6$$.

Преобразуем неравенство:

• $$log_{\frac{1}{3}}(x-6) - log_{\frac{1}{3}}(x+1) > -1$$
• $$log_{\frac{1}{3}}\frac{x-6}{x+1} > log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^{-1}$$
• $$log_{\frac{1}{3}}\frac{x-6}{x+1} > log_{\frac{1}{3}}3$$

Так как основание логарифма $$ \frac{1}{3} < 1$$, знак неравенства меняется на противоположный:

• $$\frac{x-6}{x+1} < 3$$
• $$\frac{x-6}{x+1} - 3 < 0$$
• $$\frac{x-6 - 3(x+1)}{x+1} < 0$$
• $$\frac{x-6 - 3x - 3}{x+1} < 0$$
• $$\frac{-2x - 9}{x+1} < 0$$
• $$\frac{2x + 9}{x+1} > 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

• $$2x + 9 = 0$$; $$x = -4.5$$
• $$x + 1 = 0$$; $$x = -1$$

Определим знаки на интервалах:

      +                -                +
----(-4.5)--------(-1)-------------------->

Решением неравенства является:

• $$x < -4.5$$ или $$x > -1$$

Учитывая ОДЗ $$x > 6$$, получаем окончательное решение:

• $$x > 6$$

Ответ: $$(6;+\infty)$$.