Реши однородное уравнение. sin² x − sin x cos x − 20 cos² x = 0

Решаем однородное уравнение:

Пошаговое решение:

1. Разделим обе части уравнения на cos² x: \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 20 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \] \(\tg^2 x - \tg x - 20 = 0 \)
2. Решим квадратное уравнение относительно \(\tg x\). Пусть \(t = \tg x\), тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 - t - 20 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \] Найдем корни: \[ t_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5 \] \[ t_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = -4 \]
3. Вернемся к замене: \[ \tg x = 5 \quad \text{или} \quad \tg x = -4 \] Решения для каждого случая: \[ x = \arctg 5 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \arctg (-4) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Так как \(\arctg (-a) = -\arctg a\), то: \[ x = -\arctg 4 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \arctg 5 + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) или \(x = -\arctg 4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}\)