Реши самостоятельно Упростить векторное выражение: \(\overline{AC} - \overline{DC} + \overline{DN} – \overline{AM}\) Даны параллелограмм ABCD и точка О. Докажите, что OA+OC = OB + OD

Для решения данных задач, нужно хорошо знать геометрию и уметь выполнять операции с векторами.

1. Упростить векторное выражение: \(\overline{AC} - \overline{DC} + \overline{DN} – \overline{AM}\)

Используем свойства векторов и правила операций над ними.

1. Заменим вычитание векторов сложением с противоположным вектором: $$\overline{AC} - \overline{DC} + \overline{DN} - \overline{AM} = \overline{AC} + \overline{CD} + \overline{DN} + \overline{MA}$$
2. Сгруппируем векторы, чтобы использовать правило сложения векторов: $$(\overline{AC} + \overline{CD}) + (\overline{DN} + \overline{MA})$$
3. Сложим векторы в каждой группе: $$\overline{AD} + \overline{DA}$$
4. Так как \(\overline{DA}\) - это вектор, противоположный вектору \(\overline{AD}\), то их сумма равна нулевому вектору: $$\overline{AD} + \overline{DA} = \overline{0}$$

Ответ: \(\overline{0}\)

2. Даны параллелограмм ABCD и точка О. Докажите, что OA+OC = OB + OD

Для доказательства этого утверждения используем свойства параллелограмма и векторов.

1. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке E, которая является серединой каждой из них.
2. Выразим векторы \(\overline{OA}\) и \(\overline{OC}\) через вектор \(\overline{OE}\) и векторы, соединяющие точку E с вершинами параллелограмма: $$\overline{OA} = \overline{OE} + \overline{EA}$$ $$\overline{OC} = \overline{OE} + \overline{EC}$$
3. Сложим эти два выражения: $$\overline{OA} + \overline{OC} = (\overline{OE} + \overline{EA}) + (\overline{OE} + \overline{EC}) = 2\overline{OE} + (\overline{EA} + \overline{EC})$$
4. Аналогично выразим векторы \(\overline{OB}\) и \(\overline{OD}\) через вектор \(\overline{OE}\): $$\overline{OB} = \overline{OE} + \overline{EB}$$ $$\overline{OD} = \overline{OE} + \overline{ED}$$
5. Сложим эти два выражения: $$\overline{OB} + \overline{OD} = (\overline{OE} + \overline{EB}) + (\overline{OE} + \overline{ED}) = 2\overline{OE} + (\overline{EB} + \overline{ED})$$
6. Так как E - середина диагоналей, то \(\overline{EA} = -\overline{EC}\) и \(\overline{EB} = -\overline{ED}\), следовательно, \(\overline{EA} + \overline{EC} = \overline{0}\) и \(\overline{EB} + \overline{ED} = \overline{0}\).
7. Тогда: $$\overline{OA} + \overline{OC} = 2\overline{OE}$$ $$\overline{OB} + \overline{OD} = 2\overline{OE}$$
8. Из этого следует, что: $$\overline{OA} + \overline{OC} = \overline{OB} + \overline{OD}$$

Ответ: \(\overline{OA} + \overline{OC} = \overline{OB} + \overline{OD}\), что и требовалось доказать.