Реши систему способом сложения: \(\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3; \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4.\) Если получилось дробное число, то запиши его в виде десятичной дробью.

Решение системы уравнений:

Нам дана система уравнений:

• \[ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4 \end{cases} \]

Чтобы решить систему способом сложения, сначала избавимся от дробей в каждом уравнении. Для этого умножим первое уравнение на общий знаменатель дробей (6), а второе — на общий знаменатель (12):

• Первое уравнение:
• \[ 6 \cdot \left( \frac{x}{2} - \frac{y}{3} \right) = 6 \cdot 3 \]
• \[ 3x - 2y = 18 \]
• Второе уравнение:
• \[ 12 \cdot \left( \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} \right) = 12 \cdot 4 \]
• \[ 9x + 10y = 48 \]

Теперь система выглядит так:

• \[ \begin{cases} 3x - 2y = 18 \\ 9x + 10y = 48 \end{cases} \]

Чтобы использовать метод сложения, нам нужно сделать коэффициенты при одной из переменных противоположными. Умножим первое уравнение на -5, чтобы коэффициент при y стал 10y:

• \[ -5 \cdot (3x - 2y) = -5 \cdot 18 \]
• \[ -15x + 10y = -90 \]

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

• \[ (-15x + 10y) + (9x + 10y) = -90 + 48 \]
• \[ -6x = -42 \]
• Найдем x:
• \[ x = \frac{-42}{-6} \]
• \[ x = 7 \]

Теперь подставим найденное значение x = 7 в одно из исходных уравнений (например, в 3x - 2y = 18), чтобы найти y:

• \[ 3 \cdot 7 - 2y = 18 \]
• \[ 21 - 2y = 18 \]
• \[ -2y = 18 - 21 \]
• \[ -2y = -3 \]
• \[ y = \frac{-3}{-2} \]
• \[ y = 1.5 \]

Мы получили дробное число для y, которое нужно записать в виде десятичной дроби. 1.5 — это уже десятичная дробь.

Проверка:

• Подставим x=7 и y=1.5 в первое исходное уравнение:
• \[ \frac{7}{2} - \frac{1.5}{3} = 3.5 - 0.5 = 3 \] (Верно)
• Подставим x=7 и y=1.5 во второе исходное уравнение:
• \[ \frac{3 \cdot 7}{4} + \frac{5 \cdot 1.5}{6} = \frac{21}{4} + \frac{7.5}{6} = 5.25 + 1.25 = 6.5 \]

Ошибка в расчетах. Давайте пересчитаем второе уравнение.

Исходная система:

• \[ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4 \end{cases} \]
• Приведенная к виду без дробей:
• \[ \begin{cases} 3x - 2y = 18 \quad (1) \\ 9x + 10y = 48 \quad (2) \end{cases} \]
• Умножим уравнение (1) на -5:
• \[ -15x + 10y = -90 \quad (1') \]
• Сложим (1') и (2):
• \[ (-15x + 10y) + (9x + 10y) = -90 + 48 \]
• \[ -6x = -42 \]
• \[ x = 7 \]
• Подставим x = 7 в уравнение (1):
• \[ 3(7) - 2y = 18 \]
• \[ 21 - 2y = 18 \]
• \[ -2y = 18 - 21 \]
• \[ -2y = -3 \]
• \[ y = \frac{-3}{-2} = 1.5 \]

Проверка (снова):

• Первое уравнение: \[ \frac{7}{2} - \frac{1.5}{3} = 3.5 - 0.5 = 3 \] (Верно)
• Второе уравнение: \[ \frac{3 \cdot 7}{4} + \frac{5 \cdot 1.5}{6} = \frac{21}{4} + \frac{7.5}{6} \]
• Приведем к общему знаменателю 12:
• \[ \frac{21 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{7.5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{63}{12} + \frac{15}{12} = \frac{78}{12} \]
• \[ \frac{78}{12} = \frac{13}{2} = 6.5 \]

Снова не сходится. Проверим исходные уравнения и домножение.

Исходная система:

• \[ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \]
• \[ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4 \]
• Первое уравнение домножаем на 6:
• \[ 6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{y}{3} = 6 \cdot 3 \]
• \[ 3x - 2y = 18 \] (Это уравнение верно)
• Второе уравнение домножаем на 12:
• \[ 12 \cdot \frac{3x}{4} + 12 \cdot \frac{5y}{6} = 12 \cdot 4 \]
• \[ 9x + 10y = 48 \] (Это уравнение тоже верно)

Теперь вернемся к системе:

• \[ \begin{cases} 3x - 2y = 18 \quad (1) \\ 9x + 10y = 48 \quad (2) \end{cases} \]
• Чтобы избавиться от x, умножим (1) на -3:
• \[ -3 \cdot (3x - 2y) = -3 \cdot 18 \]
• \[ -9x + 6y = -54 \quad (1'') \]
• Сложим (1'') и (2):
• \[ (-9x + 6y) + (9x + 10y) = -54 + 48 \]
• \[ 16y = -6 \]
• \[ y = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8} \]
• Переведем y в десятичную дробь:
• \[ y = -0.375 \]
• Теперь подставим y = -0.375 в уравнение (1):
• \[ 3x - 2 \cdot (-0.375) = 18 \]
• \[ 3x + 0.75 = 18 \]
• \[ 3x = 18 - 0.75 \]
• \[ 3x = 17.25 \]
• \[ x = \frac{17.25}{3} \]
• \[ x = 5.75 \]

Проверка:

• Подставим x=5.75 и y=-0.375 в первое исходное уравнение:
• \[ \frac{5.75}{2} - \frac{-0.375}{3} = 2.875 - (-0.125) = 2.875 + 0.125 = 3 \] (Верно)
• Подставим x=5.75 и y=-0.375 во второе исходное уравнение:
• \[ \frac{3 \cdot 5.75}{4} + \frac{5 \cdot (-0.375)}{6} = \frac{17.25}{4} + \frac{-1.875}{6} \]
• \[ 4.3125 + (-0.3125) = 4.3125 - 0.3125 = 4 \] (Верно)

Ответ: (5.75; -0.375)