Реши систему уравнений: \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{8}{3}\\ x^2 + y^2 = 640 \end{cases} \begin{cases} x_1 =\\ y_1 =\\ x_3 =\\ y_3 = -\\ \end{cases} \begin{cases} x_2 = -\\ y_2 = -\\ x_4 = -\\ y_4 =\ \end{cases}

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{8}{3}\\ x^2 + y^2 = 640 \end{cases}$$

Пусть $$t = \frac{x}{y}$$, тогда первое уравнение можно переписать в виде:

$$t - \frac{1}{t} = \frac{8}{3}$$

Умножим обе части уравнения на $$3t$$:

$$3t^2 - 3 = 8t$$ $$3t^2 - 8t - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$$ $$t_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$$ $$t_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Теперь у нас есть два случая:

Случай 1: $$t = 3$$ $$\frac{x}{y} = 3 \Rightarrow x = 3y$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$(3y)^2 + y^2 = 640$$ $$9y^2 + y^2 = 640$$ $$10y^2 = 640$$ $$y^2 = 64$$ $$y = \pm \sqrt{64} = \pm 8$$

Если $$y = 8$$, то $$x = 3 \cdot 8 = 24$$

Если $$y = -8$$, то $$x = 3 \cdot (-8) = -24$$

Случай 2: $$t = -\frac{1}{3}$$ $$\frac{x}{y} = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = -\frac{1}{3}y$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$\left(-\frac{1}{3}y\right)^2 + y^2 = 640$$ $$\frac{1}{9}y^2 + y^2 = 640$$ $$\frac{10}{9}y^2 = 640$$ $$y^2 = \frac{640 \cdot 9}{10} = 64 \cdot 9 = 576$$ $$y = \pm \sqrt{576} = \pm 24$$

Если $$y = 24$$, то $$x = -\frac{1}{3} \cdot 24 = -8$$

Если $$y = -24$$, то $$x = -\frac{1}{3} \cdot (-24) = 8$$

Итак, у нас есть четыре решения:

1. $$(24, 8)$$
2. $$(-24, -8)$$
3. $$(-8, 24)$$
4. $$(8, -24)$$

$$\begin{cases} x_1 = 24\\ y_1 = 8\\ x_3 = -8\\ y_3 = -24\\ \end{cases} \begin{cases} x_2 = -24\\ y_2 = -8\\ x_4 = 8\\ y_4 = 24\ \end{cases}$$

Ответ:

$$\begin{cases} x_1 = 24\\ y_1 = 8\\ x_3 = -8\\ y_3 = -24\\ \end{cases} \begin{cases} x_2 = -24\\ y_2 = -8\\ x_4 = 8\\ y_4 = 24\ \end{cases}$$