Реши систему уравнений: \begin{cases} \frac{1}{3x-3y} + x = 4 \\ \frac{x}{3x-3y} = -21 \end{cases}

Решим систему уравнений методом подстановки. Обозначим $$3x - 3y = z$$. Тогда система уравнений примет вид:

$$\begin{cases} \frac{1}{z} + x = 4 \\ \frac{x}{z} = -21 \end{cases}$$

Выразим из второго уравнения $$z$$ через $$x$$: $$z = -\frac{x}{21}$$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$$\frac{1}{-\frac{x}{21}} + x = 4$$

$$-\frac{21}{x} + x = 4$$

Умножим обе части уравнения на $$x$$ (при условии $$x
eq 0$$):

$$-21 + x^2 = 4x$$

$$x^2 - 4x - 21 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$x$$. Найдем дискриминант:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Теперь найдем соответствующие значения $$z$$:

$$z_1 = -\frac{x_1}{21} = -\frac{7}{21} = -\frac{1}{3}$$

$$z_2 = -\frac{x_2}{21} = -\frac{-3}{21} = \frac{1}{7}$$

Вспомним, что $$z = 3x - 3y$$. Выразим $$y$$ через $$x$$ и $$z$$:

$$3x - 3y = z$$

$$3y = 3x - z$$

$$y = x - \frac{z}{3}$$

Найдем $$y_1$$ и $$y_2$$:

$$y_1 = x_1 - \frac{z_1}{3} = 7 - \frac{-\frac{1}{3}}{3} = 7 + \frac{1}{9} = \frac{63}{9} + \frac{1}{9} = \frac{64}{9}$$

$$y_2 = x_2 - \frac{z_2}{3} = -3 - \frac{\frac{1}{7}}{3} = -3 - \frac{1}{21} = -\frac{63}{21} - \frac{1}{21} = -\frac{64}{21}$$

Запишем ответ:

$$\begin{cases} x_1 = 7 \\ y_1 = \frac{64}{9} \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_2 = -3 \\ y_2 = -\frac{64}{21} \end{cases}$$

<h3>Ответ:</h3>
<ul>
  <li>x₁ = <strong>7</strong></li>
  <li>y₁ = <strong>64/9</strong></li>
  <li>x₂ = <strong>-3</strong></li>
  <li>y₂ = <strong>-64/21</strong></li>
</ul>

Ответ: x₁ = 7; y₁ = 64/9; x₂ = -3; y₂ = -64/21