Реши систему уравнений: 1/x + 2/y = 11, 1/x - 2/y = -1.

Решение:

Данная система уравнений:

\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 11 \\ \frac{1}{x} - \frac{2}{y} = -1 \end{cases} \)

Для удобства введём замены:

Пусть \( a = \frac{1}{x} \) и \( b = \frac{2}{y} \).

Тогда система примет вид:

\( \begin{cases} a + b = 11 \\ a - b = -1 \end{cases} \)

Сложим два уравнения системы:

\( (a + b) + (a - b) = 11 + (-1) \)

\( 2a = 10 \)

\( a = \frac{10}{2} \)

\( a = 5 \)

Подставим значение \( a \) в первое уравнение:

\( 5 + b = 11 \)

\( b = 11 - 5 \)

\( b = 6 \)

Теперь вернёмся к исходным переменным:

\( a = \frac{1}{x} = 5 \)

\( x = \frac{1}{5} \)

\( b = \frac{2}{y} = 6 \)

\( y = \frac{2}{6} \)

\( y = \frac{1}{3} \)

Проверим полученное решение, подставив значения \( x \) и \( y \) в исходную систему:

Первое уравнение: \( \frac{1}{1/5} + \frac{2}{1/3} = 5 + 6 = 11 \) (Верно)

Второе уравнение: \( \frac{1}{1/5} - \frac{2}{1/3} = 5 - 6 = -1 \) (Верно)

Ответ: \( x = \frac{1}{5}, y = \frac{1}{3} \).