Реши систему уравнений: 7(2x - y) - 75 = 8x + 4(y - 3), 8x + 7(4y + 11) = 2(3x + y) + 45 Запиши ответ числами.

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений. Поехали!

Шаг 1: Упростим первое уравнение

Начнем с первого уравнения:

\[ 7(2x - y) - 75 = 8x + 4(y - 3) \]

Раскроем скобки:

\[ 14x - 7y - 75 = 8x + 4y - 12 \]

Теперь перенесем все члены с переменными в левую часть, а числа — в правую:

\[ 14x - 8x - 7y - 4y = -12 + 75 \]

\[ 6x - 11y = 63 \]

Шаг 2: Упростим второе уравнение

Теперь займемся вторым уравнением:

\[ 8x + 7(4y + 11) = 2(3x + y) + 45 \]

Раскроем скобки:

\[ 8x + 28y + 77 = 6x + 2y + 45 \]

Перенесем члены с переменными влево, а числа — вправо:

\[ 8x - 6x + 28y - 2y = 45 - 77 \]

\[ 2x + 26y = -32 \]

Это уравнение можно упростить, разделив обе части на 2:

\[ x + 13y = -16 \]

Шаг 3: Решим систему из двух упрощенных уравнений

Теперь у нас есть более простая система:

\[ \begin{cases} 6x - 11y = 63 \\ x + 13y = -16 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим x:

\[ x = -16 - 13y \]

Подставим это выражение для x в первое уравнение:

\[ 6(-16 - 13y) - 11y = 63 \]

Раскроем скобки:

\[ -96 - 78y - 11y = 63 \]

\[ -89y = 63 + 96 \]

\[ -89y = 159 \]

Найдем y:

\[ y = \frac{159}{-89} \]

\[ y = -\frac{159}{89} \]

Шаг 4: Найдем значение x

Теперь подставим найденное значение y в выражение для x:

\[ x = -16 - 13y \]

\[ x = -16 - 13 \left(-\frac{159}{89}\right) \]

\[ x = -16 + \frac{13 \times 159}{89} \]

\[ x = -16 + \frac{2067}{89} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ x = \frac{-16 \times 89}{89} + \frac{2067}{89} \]

\[ x = \frac{-1424 + 2067}{89} \]

\[ x = \frac{643}{89} \]

Значения получаются не очень красивыми, давай проверим!

Проверка

Подставим найденные значения x и y в исходные уравнения.

Первое уравнение:

\[ 7\left(2\left(\frac{643}{89}\right) - \left(-\frac{159}{89}\right)\right) - 75 = 8\left(\frac{643}{89}\right) + 4\left(-\frac{159}{89} - 3\right) \]

Сначала упростим выражения в скобках:

\[ 2\left(\frac{643}{89}\right) + \frac{159}{89} = \frac{1286 + 159}{89} = \frac{1445}{89} \]

\[ 7\left(\frac{1445}{89}\right) - 75 = \frac{10115}{89} - \frac{75 \times 89}{89} = \frac{10115 - 6675}{89} = \frac{3440}{89} \]

Теперь правая часть:

\[ 8\left(\frac{643}{89}\right) + 4\left(-\frac{159}{89} - \frac{3 \times 89}{89}\right) = \frac{5144}{89} + 4\left(-\frac{159 + 267}{89}\right) = \frac{5144}{89} + 4\left(-\frac{426}{89}\right) = \frac{5144 - 1704}{89} = \frac{3440}{89} \]

Левая и правая части равны!

Второе уравнение:

\[ 8\left(\frac{643}{89}\right) + 7\left(4\left(-\frac{159}{89}\right) + 11\right) = 2\left(3\left(\frac{643}{89}\right) - \frac{159}{89}\right) + 45 \]

Левая часть:

\[ 8\left(\frac{643}{89}\right) + 7\left(-\frac{636}{89} + \frac{11 \times 89}{89}\right) = \frac{5144}{89} + 7\left(-\frac{636 + 979}{89}\right) = \frac{5144}{89} + 7\left(\frac{343}{89}\right) = \frac{5144 + 2401}{89} = \frac{7545}{89} \]

Правая часть:

\[ 2\left(\frac{1929}{89} - \frac{159}{89}\right) + 45 = 2\left(\frac{1770}{89}\right) + 45 = \frac{3540}{89} + \frac{45 \times 89}{89} = \frac{3540 + 4005}{89} = \frac{7545}{89} \]

И второе уравнение тоже сходится! Отлично!

Ответ: (643/89; -159/89)