Реши систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{2y} = 5 \end{cases}\) Выбери верные x = 1, y = 1/2

Решение:

Пусть \( a = \frac{1}{x} \) и \( b = \frac{1}{y} \). Тогда система уравнений примет вид:

\(\begin{cases} a - b = 1 \\ 2a - \frac{1}{2}b = 5 \end{cases}\)

Из первого уравнения выразим \( a \):

\( a = 1 + b \)

Подставим во второе уравнение:

\[ 2(1+b) - \frac{1}{2}b = 5 \]

\[ 2 + 2b - \frac{1}{2}b = 5 \]

\[ \frac{3}{2}b = 3 \]

\[ b = 3 \cdot \frac{2}{3} \]

\[ b = 2 \]

Теперь найдём \( a \):

\[ a = 1 + b = 1 + 2 = 3 \]

Вернёмся к исходным переменным:

\[ \frac{1}{x} = a = 3 \implies x = \frac{1}{3} \]

\[ \frac{1}{y} = b = 2 \implies y = \frac{1}{2} \]

Проверим полученное решение, подставив \( x = \frac{1}{3} \) и \( y = \frac{1}{2} \) в исходную систему:

\[ \frac{1}{\frac{1}{3}} - \frac{1}{\frac{1}{2}} = 3 - 2 = 1 \]

\[ \frac{2}{\frac{1}{3}} - \frac{1}{2\cdot\frac{1}{2}} = 6 - 1 = 5 \]

Решение верно.

Ответ: x = 1/3, y = 1/2