Реши систему уравнений:$$\frac{x}{5} - \frac{y}{3} = 2, \quad \frac{x}{15} + \frac{y}{9} = 0.$$

Решение:

Данная система уравнений:

• \(\frac{x}{5} - \frac{y}{3} = 2\)
• \(\frac{x}{15} + \frac{y}{9} = 0\)

Для решения системы избавимся от знаменателей. Умножим первое уравнение на 15:

• \(15 \cdot (\frac{x}{5} - \frac{y}{3}) = 15 \cdot 2\)
• \(3x - 5y = 30\)

Умножим второе уравнение на 45 (наименьшее общее кратное 15 и 9):

• \(45 \cdot (\frac{x}{15} + \frac{y}{9}) = 45 \cdot 0\)
• \(3x + 5y = 0\)

Теперь у нас есть новая система:

• \(3x - 5y = 30\)
• \(3x + 5y = 0\)

Сложим оба уравнения:

• \((3x - 5y) + (3x + 5y) = 30 + 0\)
• \(6x = 30\)
• \(x = \frac{30}{6}\)
• \(x = 5\)

Подставим значение \(x = 5\) во второе уравнение \(3x + 5y = 0\):

• \(3 \cdot 5 + 5y = 0\)
• \(15 + 5y = 0\)
• \(5y = -15\)
• \(y = \frac{-15}{5}\)
• \(y = -3\)

Проверим решение, подставив \(x = 5\) и \(y = -3\) в первое исходное уравнение \(\frac{x}{5} - \frac{y}{3} = 2\):

• \(\frac{5}{5} - \frac{-3}{3} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2\)
• \(2 = 2\)

Решение верно.

Ответ: (5; -3).