Реши систему уравнений с тремя неизвестными и запиши ответ x + 2y + z = 8; 2x + y + 2z = 10; 3x + 3y + z = 12.

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений. Она выглядит страшно, но на самом деле решается довольно просто, если действовать поэтапно.

Система уравнений:

• \[ \begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y + 2z = 10 \\ 3x + 3y + z = 12 \end{cases} \]

Наша цель: найти такие значения x, y и z, которые удовлетворяют всем трем уравнениям одновременно.

Метод решения: Будем использовать метод подстановки и исключения неизвестных.

1. Шаг 1: Выразим одну переменную через другие.
   Из первого уравнения выразим z:
   \[ z = 8 - x - 2y \]
2. Шаг 2: Подставим это выражение во второе и третье уравнения.
   Подставляем во второе уравнение:
   \[ 2x + y + 2(8 - x - 2y) = 10 \]
   Раскрываем скобки:
   \[ 2x + y + 16 - 2x - 4y = 10 \]
   Упрощаем:
   \[ -3y + 16 = 10 \]
   \[ -3y = 10 - 16 \]
   \[ -3y = -6 \]
   \[ y = 2 \]
3. Шаг 3: Нашли значение y. Теперь подставим его в третье уравнение (сначала тоже выразив z через x и y).
   Подставляем во третье уравнение:
   \[ 3x + 3y + z = 12 \]
   \[ 3x + 3(2) + (8 - x - 2(2)) = 12 \]
   Раскрываем скобки:
   \[ 3x + 6 + (8 - x - 4) = 12 \]
   \[ 3x + 6 + 4 - x = 12 \]
   Упрощаем:
   \[ 2x + 10 = 12 \]
   \[ 2x = 12 - 10 \]
   \[ 2x = 2 \]
   \[ x = 1 \]
4. Шаг 4: Нашли значения x и y. Теперь найдем z, подставив найденные значения в выражение для z.
   \[ z = 8 - x - 2y \]
   \[ z = 8 - 1 - 2(2) \]
   \[ z = 8 - 1 - 4 \]
   \[ z = 3 \]

Проверка:
Подставим x=1, y=2, z=3 в исходные уравнения:
1) 1 + 2(2) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 (Верно)
2) 2(1) + 2 + 2(3) = 2 + 2 + 6 = 10 (Верно)
3) 3(1) + 3(2) + 3 = 3 + 6 + 3 = 12 (Верно)

Все три уравнения выполняются, значит, мы нашли правильное решение!

Ответ: (1; 2; 3)