Реши систему уравнений: { ((x-3)(y+7)= (x + 9)(y+1), (x-5)(y+3) = xy +2.

Привет! Давай разберем эту систему уравнений вместе. Это не так страшно, как кажется!

1. Первое уравнение:

   Давай раскроем скобки в первом уравнении:

   \[ (x-3)(y+7) = (x+9)(y+1) \]

   \[ xy + 7x - 3y - 21 = xy + x + 9y + 9 \]

   Теперь упростим его, вычтя xy из обеих частей:

   \[ 7x - 3y - 21 = x + 9y + 9 \]

   Перенесем все члены с x и y в левую часть, а числа — в правую:

   \[ 7x - x - 3y - 9y = 9 + 21 \]

   \[ 6x - 12y = 30 \]

   Разделим обе части на 6, чтобы получить более простое уравнение:

   \[ x - 2y = 5 \]

2. Второе уравнение:

   Теперь раскроем скобки во втором уравнении:

   \[ (x-5)(y+3) = xy + 2 \]

   \[ xy + 3x - 5y - 15 = xy + 2 \]

   Вычтем xy из обеих частей:

   \[ 3x - 5y - 15 = 2 \]

   Перенесем -15 в правую часть:

   \[ 3x - 5y = 2 + 15 \]

   \[ 3x - 5y = 17 \]

3. Система уравнений:

   Теперь у нас есть более простая система:

   \[ \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x - 5y = 17 \end{cases} \]

   Выразим x из первого уравнения:

   \[ x = 5 + 2y \]

4. Подстановка:

   Подставим это выражение для x во второе уравнение:

   \[ 3(5 + 2y) - 5y = 17 \]

   \[ 15 + 6y - 5y = 17 \]

   \[ 15 + y = 17 \]

   Найдем y:

   \[ y = 17 - 15 \]

   \[ y = 2 \]

5. Находим x:

   Теперь, когда мы знаем значение y, подставим его обратно в выражение для x:

   \[ x = 5 + 2y \]

   \[ x = 5 + 2(2) \]

   \[ x = 5 + 4 \]

   \[ x = 9 \]

6. Проверка:

   Давай проверим, подходят ли наши значения x=9 и y=2 в исходные уравнения.

   Первое уравнение:

   \[ (9-3)(2+7) = (9+9)(2+1) \]

   \[ (6)(9) = (18)(3) \]

   \[ 54 = 54 \]

   Верно!

   Второе уравнение:

   \[ (9-5)(2+3) = 9(2) + 2 \]

   \[ (4)(5) = 18 + 2 \]

   \[ 20 = 20 \]

   Тоже верно!

Ответ: x = 9, y = 2