Реши систему уравнений: { (x - 5)² - (x - 9)² = 8y, (y + 5)² - (y - 3)² = 4x. Запиши ответ числами. ( ; )

Решение системы уравнений:

Давай разберем каждое уравнение по очереди, чтобы найти значения x и y.

1. Первое уравнение:
   \[ (x - 5)^2 - (x - 9)^2 = 8y \]
   

   Здесь мы можем использовать формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.

   
   

   Пусть $$a = (x - 5)$$ и $$b = (x - 9)$$. Тогда:

   
   
   • $$a - b = (x - 5) - (x - 9) = x - 5 - x + 9 = 4$$
   • $$a + b = (x - 5) + (x - 9) = x - 5 + x - 9 = 2x - 14$$
   
   

   Подставляем обратно в уравнение:

   
   \[ 4(2x - 14) = 8y \]
   

   Раскрываем скобки:

   
   \[ 8x - 56 = 8y \]
   

   Теперь разделим обе части на 8, чтобы упростить:

   
   \[ x - 7 = y \]
   

   Итак, мы получили связь между x и y: y = x - 7.

2. Второе уравнение:
   \[ (y + 5)^2 - (y - 3)^2 = 4x \]
   

   Снова используем формулу разности квадратов, где $$a = (y + 5)$$ и $$b = (y - 3)$$.

   
   
   • $$a - b = (y + 5) - (y - 3) = y + 5 - y + 3 = 8$$
   • $$a + b = (y + 5) + (y - 3) = y + 5 + y - 3 = 2y + 2$$
   
   

   Подставляем обратно в уравнение:

   
   \[ 8(2y + 2) = 4x \]
   

   Раскрываем скобки:

   
   \[ 16y + 16 = 4x \]
   

   Разделим обе части на 4:

   
   \[ 4y + 4 = x \]
   

   Получили еще одну связь: x = 4y + 4.

3. Решаем систему из двух уравнений:
   

   Теперь у нас есть два простых уравнения:

   
   
   • 1) $$y = x - 7$$
   • 2) $$x = 4y + 4$$
   
   

   Мы можем подставить выражение для y из первого уравнения во второе:

   
   \[ x = 4(x - 7) + 4 \]
   

   Раскрываем скобки:

   
   \[ x = 4x - 28 + 4 \]
   

   Приводим подобные слагаемые:

   
   \[ x = 4x - 24 \]
   

   Перенесем x в правую часть, а числа — в левую:

   
   \[ 24 = 4x - x \]
   \[ 24 = 3x \]
   

   Находим x:

   
   \[ x = \frac{24}{3} = 8 \]
   

   Теперь, когда мы знаем x, найдем y, подставив x = 8 в уравнение $$y = x - 7$$:

   
   \[ y = 8 - 7 = 1 \]
   

   Таким образом, решение системы: x = 8, y = 1.

Ответ: (8; 1)