Реши систему уравнений: { 1/x+y + 1/x-y = 15 4/x+y + 3/x-y = 51 x= y = (Дробь в ответе должна быть сокращённой.)

Решим систему уравнений:

Пусть $$a = \frac{1}{x+y}$$ и $$b = \frac{1}{x-y}$$. Тогда система уравнений примет вид:

$$\begin{cases} a + b = 15 \\ 4a + 3b = 51 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на -3:

$$\begin{cases} -3a - 3b = -45 \\ 4a + 3b = 51 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$a = 6$$

Подставим значение a в первое уравнение:

$$6 + b = 15$$

$$b = 9$$

Теперь решим систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{1}{x+y} = 6 \\ \frac{1}{x-y} = 9 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x + y = \frac{1}{6} \\ x - y = \frac{1}{9} \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x = \frac{1}{6} + \frac{1}{9}$$

$$2x = \frac{3}{18} + \frac{2}{18}$$

$$2x = \frac{5}{18}$$

$$x = \frac{5}{36}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$2y = \frac{1}{6} - \frac{1}{9}$$

$$2y = \frac{3}{18} - \frac{2}{18}$$

$$2y = \frac{1}{18}$$

$$y = \frac{1}{36}$$

Ответ:

$$x = \frac{5}{36}$$

$$y = \frac{1}{36}$$