Реши тригонометрическое уравнение sin x = √2 / 2

Решение:

Данное уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида \( \sin x = a \).

В нашем случае \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Мы знаем, что \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Значит, один из корней уравнения — \( 45^{\circ} \).

Уравнение \( \sin x = a \) имеет два основных решения:

1. \( x = \alpha + 360^{\circ} n \)
2. \( x = 180^{\circ} - \alpha + 360^{\circ} n \)

где \( \alpha \) — угол, синус которого равен \( a \), а \( n \) — любое целое число \( \mathbb{Z} \).

Подставим наши значения:

1. \( x = 45^{\circ} + 360^{\circ} n \)
2. \( x = 180^{\circ} - 45^{\circ} + 360^{\circ} n = 135^{\circ} + 360^{\circ} n \)

По условию задания, в первом ряду нужно ввести угол из I или IV квадранта. Угол \( 45^{\circ} \) находится в I квадранте.

Если получился угол из IV квадранта, его нужно вводить как отрицательный. Угол \( 135^{\circ} \) находится во II квадранте. Угол \( -45^{\circ} \) находится в IV квадранте и \( \sin(-45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Но нам нужен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Возвращаемся к первому решению: \( x = 45^{\circ} + 360^{\circ} n \). Здесь \( 45^{\circ} \) — это угол из I квадранта. Если \( n=0 \), то \( x = 45^{\circ} \).

Второе решение: \( x = 135^{\circ} + 360^{\circ} n \). Угол \( 135^{\circ} \) находится во II квадранте. Угол из IV квадранта, синус которого равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), можно представить как \( 360^{\circ} - 135^{\circ} \) или \( -45^{\circ} \) + \( 360^{\circ} \). Но \( \sin(-45^{\circ}) \) не равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Рассмотрим функцию синуса. \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) имеет два решения в промежутке \( [0^{\circ}, 360^{\circ}) \): \( 45^{\circ} \) (I квадрант) и \( 135^{\circ} \) (II квадрант).

Согласно условию, в первом ряду мы должны ввести угол из I или IV квадранта. Из полученных решений, \( 45^{\circ} \) — это угол из I квадранта.

Во втором ряду нужно ввести положительный угол. \( 135^{\circ} \) — это угол из II квадранта. Однако, если нам нужно получить угол из IV квадранта, мы должны рассмотреть \( x = -45^{\circ} \) или \( x = 360^{\circ} - 45^{\circ} \). Но \( \sin(-45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Мы ищем решения для \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Первое решение: \( x = 45^{\circ} + 360^{\circ} n \). Здесь \( 45^{\circ} \) — это угол из I квадранта.

Второе решение: \( x = 180^{\circ} - 45^{\circ} + 360^{\circ} n = 135^{\circ} + 360^{\circ} n \). Этот угол из II квадранта.

Условие: "В первом ряду вводи угол из I или IV квадрантов." У нас есть \( 45^{\circ} \) (I квадрант). Угол из IV квадранта, где синус положительный, отсутствует. Значит, в первом ряду будет \( 45^{\circ} \).

Условие: "В случае, если получился угол из IV квадранта, вводи его как отрицательный со знаком минус без пробела." У нас нет угла из IV квадранта, синус которого равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Условие: "Во втором ряду вводи положительный угол." Из двух решений \( 45^{\circ} \) и \( 135^{\circ} \), положительным углом является \( 135^{\circ} \).

Следовательно, в первом ряду: \( 45^{\circ} \). Во втором ряду: \( 135^{\circ} \).

Проверим: \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 135^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Итак, форма записи:

\( x = \left[ \begin{array}{c} 45^{\circ} + 360^{\circ} n \\ 135^{\circ} + 360^{\circ} n \end{array} \right. \)

По условию заполнения полей:

Первый ряд: \( 45^{\circ} + 360^{\circ} n \) (угол из I квадранта)

Второй ряд: \( 135^{\circ} + 360^{\circ} n \) (положительный угол)

Ответ: 45 + 360 n, 135 + 360 n