Реши уравнение: √6x - 2 = x³ + 1. Запиши в поле ответа значение большего корня.

Решим уравнение $$\sqrt{6x-2} = x^3 + 1$$.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{6x-2})^2 = (x^3 + 1)^2$$

$$6x - 2 = x^6 + 2x^3 + 1$$

$$x^6 + 2x^3 - 6x + 3 = 0$$

Заметим, что $$x = 1$$ является корнем уравнения:

$$1^6 + 2 \cdot 1^3 - 6 \cdot 1 + 3 = 1 + 2 - 6 + 3 = 0$$

Теперь разделим многочлен $$x^6 + 2x^3 - 6x + 3$$ на $$(x-1)$$.

$$ \begin{array}{c|l} x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 2x^3 + 0x^2 - 6x + 3 & x-1 \\ \underline{x^6 - x^5} & x^5 + x^4 + x^3 + 3x^2 + 3x - 3 \\ x^5 + 0x^4 + 2x^3 + 0x^2 - 6x + 3 & \\ \underline{x^5 - x^4} & \\ x^4 + 2x^3 + 0x^2 - 6x + 3 & \\ \underline{x^4 - x^3} & \\ 3x^3 + 0x^2 - 6x + 3 & \\ \underline{3x^3 - 3x^2} & \\ 3x^2 - 6x + 3 & \\ \underline{3x^2 - 3x} & \\ -3x + 3 & \\ \underline{-3x + 3} & \\ 0 & \\ \end{array} $$

Получим $$x^6 + 2x^3 - 6x + 3 = (x-1)(x^5 + x^4 + x^3 + 3x^2 + 3x - 3) = 0$$

Извлекаем корень $$x = 1$$

Подставим корень в исходное уравнение для проверки:

$$\sqrt{6 \cdot 1 - 2} = 1^3 + 1$$

$$\sqrt{4} = 2$$

$$2 = 2$$

Значит, корень $$x=1$$ - подходит.

При $$x = -1$$:

$$\sqrt{6 \cdot (-1) - 2} = (-1)^3 + 1$$

$$\sqrt{-8} = 0$$

не подходит, так как корень квадратный из отрицательного числа не определен.

Рассмотрим функцию $$f(x) = x^5 + x^4 + x^3 + 3x^2 + 3x - 3$$.

Производная этой функции равна:

$$f'(x) = 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 6x + 3$$

При $$x > 0$$ производная положительна, значит функция возрастает.

Также, при $$x=0$$, $$f(0)=-3 < 0$$, а при $$x=1$$, $$f(1)=1+1+1+3+3-3=6 > 0$$

Уравнение $$x^5 + x^4 + x^3 + 3x^2 + 3x - 3 = 0$$ имеет один положительный корень.

Так как, нас просят найти значение большего корня, найдем приближенное значение корня уравнения $$x^5 + x^4 + x^3 + 3x^2 + 3x - 3 = 0$$.

Подбором можно найти, что корень находится между $$0$$ и $$1$$. Корень приблизительно равен $$0.68$$.

Найдем область допустимых значений.

$$6x-2 \ge 0$$

$$6x \ge 2$$

$$x \ge \frac{1}{3}$$

и $$x^3+1 \ge 0$$

$$x^3 \ge -1$$

$$x \ge -1$$

Рассмотрим найденные корни уравнения.

$$x=1$$ и $$x \approx 0.68$$

Больший корень $$x=1$$.

Ответ: 1