Реши уравнение: \(\frac{1}{(a-6)^2} - \frac{1}{a-6} - 6 = 0.\)

Решение:

Давай решим это уравнение вместе. Сначала сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть \( t = a - 6 \), тогда уравнение примет вид: \[ \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t} - 6 = 0 \] Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на \( t^2 \): \[ 1 - t - 6t^2 = 0 \] Перепишем это в стандартном виде квадратного уравнения: \[ 6t^2 + t - 1 = 0 \] Теперь найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдем их: \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \] Теперь вернемся к исходной переменной \( a \), учитывая, что \( t = a - 6 \): Для \( t_1 = \frac{1}{3} \): \[ a - 6 = \frac{1}{3} \] \[ a_1 = 6 + \frac{1}{3} = \frac{18}{3} + \frac{1}{3} = \frac{19}{3} \] Для \( t_2 = -\frac{1}{2} \): \[ a - 6 = -\frac{1}{2} \] \[ a_2 = 6 - \frac{1}{2} = \frac{12}{2} - \frac{1}{2} = \frac{11}{2} \] Таким образом, корни уравнения: \[ a_1 = \frac{19}{3}, \quad a_2 = \frac{11}{2} \]

Ответ: \( \frac{11}{2}; \frac{19}{3} \)

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. У тебя все получится!