Реши уравнение: (2/5)^x = (16/25)^(x/2).

Решение:

Запишем уравнение:

\( \left( \frac{2}{5} \right)^x = \left( \frac{16}{25} \right)^{\frac{x}{2}} \)

Перепишем основание второй дроби, чтобы оно было равно основанию первой дроби:

\( \frac{16}{25} = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \left( \left( \frac{2}{5} \right)^2 \right)^2 = \left( \frac{2}{5} \right)^4 \)

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\( \left( \frac{2}{5} \right)^x = \left( \left( \frac{2}{5} \right)^4 \right)^{\frac{x}{2}} \)

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\( \left( \frac{2}{5} \right)^x = \left( \frac{2}{5} \right)^{4 \cdot \frac{x}{2}} \)

\( \left( \frac{2}{5} \right)^x = \left( \frac{2}{5} \right)^{2x} \)

Поскольку основания степеней равны, приравниваем показатели степеней:

\( x = 2x \)

Решаем полученное линейное уравнение:

\( 2x - x = 0 \)

\( x = 0 \)

Проверим полученный корень:

\( \left( \frac{2}{5} \right)^0 = 1 \)

\( \left( \frac{16}{25} \right)^{\frac{0}{2}} = \left( \frac{16}{25} \right)^0 = 1 \)

Так как \( 1 = 1 \), корень \( x=0 \) является верным.

Ответ: x = 0.