Реши уравнение \(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\sin\left(\frac{13\pi}{2}-2x\right)\).

Используем формулы приведения и двойного угла:

\(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x\), а \(\sin\left(\frac{13\pi}{2}-2x\right)=\sin\left(6\pi+\frac{\pi}{2}-2x\right)=\cos 2x\).

Получаем уравнение \(\cos x=\cos 2x\). Поэтому \(x=2\pi k+2x\) или \(x=2\pi k-2x\), где \(k\in\mathbb Z\).

1. Из \(x=2\pi k+2x\) следует \(x=-2\pi k\), то есть \(x=2\pi k\).
2. Из \(x=2\pi k-2x\) следует \(3x=2\pi k\), то есть \(x=\frac{2\pi k}{3}\).

Первое семейство уже входит во второе. Семейство \(x=\frac{2\pi k}{3}\) также записывается как объединение \(x=2\pi k\) и \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\).

Ответ: отмечаются варианты \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\) и \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).