Реши уравнение \(\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} = 8\)

Дано:

• \[ \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} = 8 \]

Решение:

1. Приведем уравнение к общему знаменателю:
   Умножим обе части уравнения на x² (при условии, что x ≠ 0):
   \[ 1 + 2x = 8x^2 \]
2. Перенесем все члены в одну сторону:
   \[ 8x^2 - 2x - 1 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D = b² - 4ac):
   Здесь a = 8, b = -2, c = -1.
   \[ D = (-2)^2 - 4 \times 8 \times (-1) = 4 + 32 = 36 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{36} = 6 \]
4. Найдем корни уравнения по формуле x = \(\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
   \[ x_1 = \frac{-(-2) + 6}{2 \times 8} = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]
   \[ x_2 = \frac{-(-2) - 6}{2 \times 8} = \frac{2 - 6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4} \]
5. Проверим, что корни не равны нулю:
   x₁ = 1/2 ≠ 0 и x₂ = -1/4 ≠ 0. Условие выполнено.
6. Запишем корни в порядке возрастания:
   -1/4 < 1/2.

Ответ: Корни уравнения в порядке возрастания: -1/4 и 1/2. В ответе нужно записать их слитно, без пробелов и запятых: -14.