Реши уравнение: \(\frac{16x^2 + 40x + 25}{4} = (x - 16)^2\). Заполни пропуски в решении. Первое число в ответе запиши наименьшее.

Решение:

• Исходное уравнение: \[ \frac{16x^2 + 40x + 25}{4} = (x - 16)^2 \]
• Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат: The expression \(16x^2 + 40x + 25\) can be factored as \((4x + 5)^2\).
• Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \frac{(4x + 5)^2}{4} = (x - 16)^2 \]
• Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая: \[ \frac{4x + 5}{2} = x - 16 \quad \text{или} \quad \frac{4x + 5}{2} = -(x - 16) \]
• Случай 1: \[ \frac{4x + 5}{2} = x - 16 \]
• Умножим обе части на 2: \[ 4x + 5 = 2(x - 16) \]
• Раскроем скобки: \[ 4x + 5 = 2x - 32 \]
• Перенесем члены с x в одну сторону, а константы в другую: \[ 4x - 2x = -32 - 5 \]
• \[ 2x = -37 \]
• \[ x = -\frac{37}{2} \]
• Случай 2: \[ \frac{4x + 5}{2} = -(x - 16) \]
• Умножим обе части на 2: \[ 4x + 5 = -2(x - 16) \]
• Раскроем скобки: \[ 4x + 5 = -2x + 32 \]
• Перенесем члены с x в одну сторону, а константы в другую: \[ 4x + 2x = 32 - 5 \]
• \[ 6x = 27 \]
• \[ x = \frac{27}{6} \]
• Сократим дробь: \[ x = \frac{9}{2} \]
• Сравним два найденных значения: \(x_1 = -\frac{37}{2} = -18.5\) и \(x_2 = \frac{9}{2} = 4.5\).
• Наименьшее значение x равно \(-\frac{37}{2}\).

Ответ:

• Промежуточный шаг: \[ \left( \mathbf{2} x + \mathbf{5} \right)^2 / \mathbf{4} = (x - 16)^2 \]
• Промежуточный шаг: \[ \mathbf{1} (x - 16)^2 \]
• \[ \mathbf{2} x + \mathbf{5} = 2(x – 16) \quad \text{или} \quad \mathbf{2} x + \mathbf{5} = -2(x-16) \]
• \[ x = -\frac{37}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{9}{2} \]
• Ответ: -18.5 или 4.5.