Реши уравнение: $$\frac{x}{x+1} - \frac{5x-3}{x-9} = 0$$. Запиши в поле ответа значение меньшего корня.

Решение:

• Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю:
• \[ \frac{x(x-9) - (5x-3)(x+1)}{(x+1)(x-9)} = 0 \]
• Раскроем скобки в числителе:
• \[ x^2 - 9x - (5x^2 + 5x - 3x - 3) = 0 \]
• \[ x^2 - 9x - (5x^2 + 2x - 3) = 0 \]
• \[ x^2 - 9x - 5x^2 - 2x + 3 = 0 \]
• Приведем подобные члены:
• \[ -4x^2 - 11x + 3 = 0 \]
• Умножим на -1 для удобства:
• \[ 4x^2 + 11x - 3 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение через дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4(4)(-3) = 121 + 48 = 169 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \]
• Найдем корни:
• \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 13}{2(4)} = \frac{-24}{8} = -3 \]
• \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 13}{2(4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
• Проверим, не являются ли корни посторонними (знаменатели не должны быть равны нулю):
• При x = -3: x+1 = -2 ≠ 0; x-9 = -12 ≠ 0.
• При x = 1/4: x+1 = 5/4 ≠ 0; x-9 = -35/4 ≠ 0.
• Оба корня подходят.
• Найдем меньший корень: -3 < 1/4.

Ответ: -3