Реши уравнение х² + 2x + \frac{15}{x² + 2x} - 8 = 0 с помощью замены переменной. Запиши в поле ответа сумму корней нового и исходного уравнений. Сумма корней уравнения с введенной переменной равна Сумма корней исходного уравнения равна

Ответ: -2

1. Шаг 1: Введение новой переменной

   Пусть \[t = x^2 + 2x\] Тогда уравнение примет вид: \[t + \frac{15}{t} - 8 = 0\]

2. Шаг 2: Решение уравнения относительно t

   Умножим обе части уравнения на t (при условии, что t ≠ 0): \[t^2 - 8t + 15 = 0\]

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Используем теорему Виета: \[t_1 + t_2 = 8\] \[t_1 \cdot t_2 = 15\]

   Корни этого уравнения: \[t_1 = 3\] и \[t_2 = 5\]

3. Шаг 3: Возврат к исходной переменной

   Теперь вернемся к исходной переменной x и решим два уравнения: \[x^2 + 2x = 3\] и \[x^2 + 2x = 5\]

   Первое уравнение: \[x^2 + 2x - 3 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = -2\] \[x_1 \cdot x_2 = -3\]

   Корни: \[x_1 = 1\] и \[x_2 = -3\]

   Второе уравнение: \[x^2 + 2x - 5 = 0\] По теореме Виета: \[x_3 + x_4 = -2\] \[x_3 \cdot x_4 = -5\]

   Сумма корней уравнения с введенной переменной равна t1+t2, то есть \[3+5 = 8\]

   Сумма корней исходного уравнения равна x1+x2+x3+x4, то есть \[-2 + (-2) = -4\]

4. Шаг 4: Сумма корней нового и исходного уравнений.

   Сумма корней уравнения с введенной переменной равна 8.

   Сумма корней исходного уравнения равна -4.

5. Шаг 5: Запись ответа

   Сумма корней нового уравнения (относительно t): 8

   Сумма корней исходного уравнения (относительно x): -4

   Сумма всех корней нового и исходного уравнения: \[8 + (-4) = 4\]

Ответ: 4