Реши уравнение х⁴ = (9х – 20)². Если корней несколько, то в ответ запиши их сумму.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Перепишем уравнение в виде разности квадратов:
   \[x^4 - (9x - 20)^2 = 0\]
2. Раскладываем на множители, используя формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\):
   \[(x^2 - (9x - 20))(x^2 + (9x - 20)) = 0\]
3. Упрощаем выражения в скобках:
   \[(x^2 - 9x + 20)(x^2 + 9x - 20) = 0\]
4. Решаем первое квадратное уравнение: \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
   Дискриминант: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1\).
   Корни: \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5\), \(x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
5. Решаем второе квадратное уравнение: \(x^2 + 9x - 20 = 0\).
   Дискриминант: \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 81 + 80 = 161\).
   Корни: \(x_3 = \frac{-9 + \sqrt{161}}{2}\), \(x_4 = \frac{-9 - \sqrt{161}}{2}\).
6. Находим сумму всех корней:
   \[5 + 4 + \frac{-9 + \sqrt{161}}{2} + \frac{-9 - \sqrt{161}}{2} = 9 + \frac{-9 + \sqrt{161} - 9 - \sqrt{161}}{2} = 9 + \frac{-18}{2} = 9 - 9 = 0\]

Ответ: 0