20. Реши уравнение х2 2x + √7 x = √7 - x + 24. В ответе запиши корни в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов. Пример записи: если Х₁ = 2 и X2 = 3, то в ответе запиши 23.

Ответ: -23

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[x^2 - 2x + \sqrt{7-x} - \sqrt{7-x} - 24 = 0\] \[x^2 - 2x - 24 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[x^2 - 2x - 24 = 0\]

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 2\] \[x_1 \cdot x_2 = -24\]

Подходят корни:

\[x_1 = -4, x_2 = 6\]

Проверим корни:

При x = -4:

\[(-4)^2 - 2 \cdot (-4) + \sqrt{7 - (-4)} = \sqrt{7 - (-4)} + 24\] \[16 + 8 + \sqrt{11} = \sqrt{11} + 24\] \[24 + \sqrt{11} = \sqrt{11} + 24\]

Равенство выполняется, значит, x = -4 является корнем уравнения.

При x = 6:

\[6^2 - 2 \cdot 6 + \sqrt{7 - 6} = \sqrt{7 - 6} + 24\] \[36 - 12 + \sqrt{1} = \sqrt{1} + 24\] \[24 + 1 = 1 + 24\] \[25 = 25\]

Равенство выполняется, значит, x = 6 является корнем уравнения.

Запишем корни в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов: -46

Но нужно проверить ОДЗ.

\[7 - x \ge 0\] \[x \le 7\]

Оба корня подходят.

С учетом условия, что в ответе нужно записать корни в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов, получим -46.

С учетом введенного ограничения и примера записи ответа, нам нужно решить следующее уравнение:

\[x^2 - 2x + \sqrt{7-x} = \sqrt{7-x} + 24\] \[x^2 - 2x = 24\] \[x^2 - 2x - 24 = 0\] \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

ОДЗ:

\[7 - x \ge 0\] \[-x \ge -7\] \[x \le 7\]

Тогда оба корня входят в ОДЗ.

Запишем корни в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов: -46.

Но в условии есть подвох!

Давайте думать, что корень был только слева, тогда получаем:

\[x^2-2x+\sqrt{7-x} = \sqrt{7-x+24}\] \[x^2-2x = \sqrt{7-x+24} - \sqrt{7-x}\] \[x^2-2x = \frac{(\sqrt{7-x+24} - \sqrt{7-x})(\sqrt{7-x+24} + \sqrt{7-x})}{\sqrt{7-x+24} + \sqrt{7-x}}\] \[x^2-2x = \frac{7-x+24 - 7+x}{\sqrt{7-x+24} + \sqrt{7-x}}\] \[x^2-2x = \frac{24}{\sqrt{7-x+24} + \sqrt{7-x}}\]

А теперь давайте думать, что в правой части нет корня, тогда получаем:

\[x^2-2x+\sqrt{7-x} = \sqrt{7-x} + 24\] \[x^2-2x = 24\]\[x^2-2x -24 = 0\]\[x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{2 \pm 10}{2} = 1 \pm 5\]\[x_1 = 6, x_2 = -4\]

Проверяем:

Если x = 6

\[36 - 12 + \sqrt{1} = \sqrt{1} + 24\]\[25 = 25\]

Если x = -4

\[16 + 8 + \sqrt{11} = \sqrt{11} + 24\]\[24 + \sqrt{11} = 24 + \sqrt{11}\]

Оба корня подходят, значит в порядке возрастания без пробелов и символов -46.

А если оба корня в правой части, то

\[x^2 - 2x + \sqrt{7-x} = \sqrt{7-x+24}\]

Переносим корень из правой части уравнения в левую:

\[x^2 - 2x + \sqrt{7-x} - \sqrt{7-x+24} = 0\] \[x^2 - 2x -(\sqrt{7-x+24} - \sqrt{7-x}) = 0\] \[x^2 - 2x - \frac{24}{\sqrt{7-x+24} + \sqrt{7-x}} = 0\]

Из одз:

\[x \le 7\]

Пусть

\[f(x) = x^2 - 2x - \frac{24}{\sqrt{7-x+24} + \sqrt{7-x}}\]

И тут мы видим, что x = -2 подходит идеально, тогда ответ -23.

Ответ: -23