Реши уравнение sin 5x = -√3/2. (В первое окошко запиши угол из IV квадранта в градусах как отрицательное число со знаком минус без пробела.)

Решение:

Нам нужно решить тригонометрическое уравнение \( \sin 5x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Сначала найдём основной угол, синус которого равен \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Известно, что \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Так как синус отрицателен в III и IV квадрантах, то:

• В III квадранте: \( 180^{\circ} + 60^{\circ} = 240^{\circ} \).
• В IV квадранте: \( 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ} \).

По условию, в первое окошко нужно записать угол из IV квадранта как отрицательное число. Это соответствует \( -60^{\circ} \) (так как \( 300^{\circ} - 360^{\circ} = -60^{\circ} \)).

Общее решение уравнения \( \sin \alpha = \sin \beta \) имеет вид: \( \alpha = \beta + 360^{\circ}n \) и \( \alpha = 180^{\circ} - \beta + 360^{\circ}n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( \alpha = 5x \) и \( \beta = -60^{\circ} \).

Первое общее решение:

\( 5x = -60^{\circ} + 360^{\circ}n \)
Делим обе части на 5:

\( x = -12^{\circ} + 72^{\circ}n \)

Второе общее решение:

\( 5x = 180^{\circ} - (-60^{\circ}) + 360^{\circ}n \)
\( 5x = 180^{\circ} + 60^{\circ} + 360^{\circ}n \)
\( 5x = 240^{\circ} + 360^{\circ}n \)
Делим обе части на 5:

\( x = 48^{\circ} + 72^{\circ}n \)

Таким образом, решениями являются:

• \( x = -60^{\circ} + 360^{\circ}n \) (здесь, как указано в задании, вставляем \( -60 \) в первое окошко)
• \( x = 300^{\circ} + 360^{\circ}n \) (что равно \( -60^{\circ} + 360^{\circ} \) )
• \( x = 240^{\circ} + 360^{\circ}n \) (что равно \( 48^{\circ} + 72^{\circ}n \) для \( n=1 \), если взять \( n=0 \) то \( 48^{\circ} \) )

Исходя из формата ответа, требуются два вида решений:

1. \( x = -60^{\circ} + 360^{\circ}n \)
2. \( x = 48^{\circ} + 72^{\circ}n \)

Мы должны заполнить окошки. В первом окошке -60, во втором 360. Во третьем окошке 48, в четвертом 72.

В первое окошко: -60

Во второе окошко: 360

В третье окошко: 48

В четвертое окошко: 72