Реши уравнение \(\sqrt{14x + 2} = \sqrt{3x^2 + 15x - 2}\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\sqrt{14x + 2}\right)^2 = \left(\sqrt{3x^2 + 15x - 2}\right)^2 \]\[ 14x + 2 = 3x^2 + 15x - 2 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 3x^2 + 15x - 14x - 2 - 2 = 0 \]\[ 3x^2 + x - 4 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Коэффициенты уравнения: \( a = 3 \), \( b = 1 \), \( c = -4 \).

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]

Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение. Корени извлекаются только из неотрицательных чисел.

Проверка для \( x = 1 \):

\[ \sqrt{14 \cdot 1 + 2} = \sqrt{16} = 4 \]\[ \sqrt{3 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 2} = \sqrt{3 + 15 - 2} = \sqrt{16} = 4 \]

Значит, \( x = 1 \) является решением.

Проверка для \( x = -\frac{4}{3} \):

\[ 14x + 2 = 14 \left(-\frac{4}{3}\right) + 2 = -\frac{56}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{50}{3} \]

Так как подкоренное выражение \( 14x + 2 \) отрицательно при \( x = -\frac{4}{3} \), этот корень не подходит.

Ответ: x = 1.