Реши уравнение (x^2 – 1)^2 + (x^2 – 14x – 15)^2 = 0.

Привет! Давай разберёмся с этим уравнением вместе.

У нас есть сумма двух квадратов, которая равна нулю:

\[ (x^2 – 1)^2 + (x^2 – 14x – 15)^2 = 0 \]

Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае: если каждое из этих чисел равно нулю.

Значит, нам нужно, чтобы оба выражения под квадратами равнялись нулю одновременно:

1. \[ x^2 – 1 = 0 \]
2. \[ x^2 – 14x – 15 = 0 \]

Давай решим первое уравнение:

\[ x^2 – 1 = 0 \]

\[ x^2 = 1 \]

Из этого следует, что

\[ x = 1 \] или \[ x = -1 \]

Теперь решим второе уравнение:

\[ x^2 – 14x – 15 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Давай используем дискриминант.

Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае: $$a = 1$$, $$b = -14$$, $$c = -15$$.

\[ D = (-14)^2 - 4 \times 1 \times (-15) \]

\[ D = 196 + 60 \]

\[ D = 256 \]

Теперь найдём корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2 \times 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

\[ x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{256}}{2 \times 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Итак, у нас есть два условия:

• Из первого уравнения: $$x = 1$$ или $$x = -1$$.
• Из второго уравнения: $$x = 15$$ или $$x = -1$$.

Чтобы исходное уравнение было верным, оба условия должны выполняться одновременно. Единственное значение $$x$$, которое удовлетворяет обоим условиям, это $$x = -1$$.

Ответ: -1