Реши уравнение: x⁴ + 3x² – 10 = 0. (Если решения нет, пиши нет, если решений много, то вводи ответы в возрастающем порядке.)

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Чтобы его решить, мы можем сделать замену переменной.

1. Замена переменной: Пусть y = x². Тогда уравнение примет вид:
   • \[ y² + 3y - 10 = 0 \]
2. Решение квадратного уравнения: Найдем дискриминант:
   • \[ D = b² - 4ac = 3² - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \]
   • \[ \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \]
   Найдем корни квадратного уравнения:
   • \[ y₁ = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2(1)} = \frac{-10}{2} = -5 \]
   • \[ y₂ = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \]
3. Обратная замена: Теперь подставим значения y обратно в x² = y.
   • Случай 1: x² = -5. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
   • Случай 2: x² = 2. Извлечем квадратный корень из обеих частей:
     • \[ x = ±\sqrt{2} \]
4. Формирование ответа: Уравнение имеет два действительных корня: -√2 и √2. Вводим ответы в возрастающем порядке.

Ответ: -√2; √2