Реши уравнение. 2cos(x) = √2tgx Запиши в поле ответа сумму корней, 3π π принадлежащих отрезку , делённую 2 2 на П. Введи ответ

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразование уравнения

Исходное уравнение: \[2 \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sqrt{2} \tan x\]

Используем формулу приведения: \[\cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x\]

Тогда уравнение примет вид: \[2 \sin x = \sqrt{2} \tan x\]

• Шаг 2: Выражение тангенса через синус и косинус

\[2 \sin x = \sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x}\]

• Шаг 3: Решение уравнения

Перенесем все в одну сторону: \[2 \sin x - \sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} = 0\]

Вынесем sin x за скобки: \[\sin x \left(2 - \frac{\sqrt{2}}{\cos x} \right) = 0\]

Получаем два случая:

1. \[\sin x = 0\]
2. \[2 - \frac{\sqrt{2}}{\cos x} = 0\]

Решаем первый случай:

\[\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Решаем второй случай:

\[2 = \frac{\sqrt{2}}{\cos x}\]

\[\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[x = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

• Шаг 4: Отбор корней, принадлежащих отрезку \[\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\]

Для \[x = \pi n\]:

При n = -1: \[x = -\pi\] (принадлежит отрезку)

При n = 0: \[x = 0\] (принадлежит отрезку)

При n = -2: \[x = -2\pi\] (не принадлежит отрезку)

При n = 1: \[x = \pi\] (не принадлежит отрезку)

Для \[x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k\]:

При k = 0: \[x = \frac{\pi}{4}\] (принадлежит отрезку)

При k = -1: \[x = \frac{\pi}{4} - 2 \pi = -\frac{7\pi}{4}\] (не принадлежит отрезку)

Для \[x = -\frac{\pi}{4} + 2 \pi k\]:

При k = 0: \[x = -\frac{\pi}{4}\] (принадлежит отрезку)

При k = -1: \[x = -\frac{\pi}{4} - 2 \pi = -\frac{9\pi}{4}\] (не принадлежит отрезку)

Корни, принадлежащие отрезку: \[-\pi, 0, \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}\]

• Шаг 5: Вычисление суммы корней и деление на π

Сумма корней: \[-\pi + 0 + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\pi\]

Делим сумму на π: \[\frac{-\pi}{\pi} = -1\]