Реши уравнение: 9x2 + 24x + 16 4 = (x -9)2. (Заполни пропуски в решении. Первое число в ответе запиши наименьшее.)

Решение:

Наше уравнение имеет вид:

\[\frac{9x^2 + 24x + 16}{4} = (x - 9)^2\]

Заметим, что числитель в левой части является полным квадратом:

\[9x^2 + 24x + 16 = (3x + 4)^2\]

Тогда уравнение можно переписать как:

\[\frac{(3x + 4)^2}{4} = (x - 9)^2\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[\sqrt{\frac{(3x + 4)^2}{4}} = \sqrt{(x - 9)^2}\]

Тогда получим:

\[\frac{3x + 4}{2} = \pm (x - 9)\]

Рассмотрим два случая:

Случай 1:

\[\frac{3x + 4}{2} = x - 9\]

Умножим обе части на 2:

\[3x + 4 = 2(x - 9)\] \[3x + 4 = 2x - 18\] \[3x - 2x = -18 - 4\] \[x = -22\]

Случай 2:

\[\frac{3x + 4}{2} = -(x - 9)\]

Умножим обе части на 2:

\[3x + 4 = -2(x - 9)\] \[3x + 4 = -2x + 18\] \[3x + 2x = 18 - 4\] \[5x = 14\] \[x = \frac{14}{5} = 2.8\]