Реши уравнение: x2-x+2 x2 -x+3 + x2 - x + 4 x2 - x + 5 = 41 24. Запиши в поле ответа удвоенную сумму корней.

Ответ: 6

\( \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x + 3} + \frac{x^2 - x + 4}{x^2 - x + 5} = \frac{41}{24} \) Шаг 1: Введём замену переменной Пусть \( t = x^2 - x \), тогда уравнение примет вид: \[ \frac{t + 2}{t + 3} + \frac{t + 4}{t + 5} = \frac{41}{24} \] Шаг 2: Решим уравнение относительно t Приведём к общему знаменателю и сложим дроби: \[ \frac{(t + 2)(t + 5) + (t + 4)(t + 3)}{(t + 3)(t + 5)} = \frac{41}{24} \] Раскроем скобки и упростим: \[ \frac{t^2 + 7t + 10 + t^2 + 7t + 12}{t^2 + 8t + 15} = \frac{41}{24} \] \[ \frac{2t^2 + 14t + 22}{t^2 + 8t + 15} = \frac{41}{24} \] Умножим обе части на \( 24(t^2 + 8t + 15) \) и получим: \[ 24(2t^2 + 14t + 22) = 41(t^2 + 8t + 15) \] \[ 48t^2 + 336t + 528 = 41t^2 + 328t + 615 \] \[ 7t^2 + 8t - 87 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-87) = 64 + 2436 = 2500 \) \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 7} = \frac{-8 + 50}{14} = \frac{42}{14} = 3 \) \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 7} = \frac{-8 - 50}{14} = \frac{-58}{14} = -\frac{29}{7} \) Шаг 3: Вернёмся к исходной переменной и решим уравнения 1) \( t = 3 \): \[ x^2 - x = 3 \] \[ x^2 - x - 3 = 0 \] \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13 \) \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \) 2) \( t = -\frac{29}{7} \): \[ x^2 - x = -\frac{29}{7} \] \[ x^2 - x + \frac{29}{7} = 0 \] \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{29}{7} = 1 - \frac{116}{7} = \frac{7 - 116}{7} = -\frac{109}{7} \) Так как дискриминант отрицательный, то вещественных корней нет. Шаг 4: Найдём сумму корней первого уравнения Сумма корней первого уравнения равна: \[ x_1 + x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} + \frac{1 - \sqrt{13}}{2} = \frac{1 + \sqrt{13} + 1 - \sqrt{13}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Шаг 5: Вычислим удвоенную сумму корней Удвоенная сумма корней равна: \[ 2(x_1 + x_2) = 2 \cdot 1 = 2 \]

Сумма корней уравнения \( x^2 - x - 3 = 0 \) равна 1. Поэтому удвоенная сумма корней равна 2. Другое квадратное уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: 2