Реши задачу и запиши ответ. Вертикально стоящий цилиндрический сосуд с теплонепроницаемыми стенками разделён на две части легкоподвижным, массивным поршнем. Часть сосуда над поршнем откачана до глубокого вакуума, а в части сосуда под поршнем находится гелий при температуре t₁ = 27°С. Из-за наличия микро щелей между поршнем и стенками сосуда гелий начинает медленно проникать в верхнюю часть сосуда. Найди температуру газа в сосуде после установления в системе термодинамического равновесия. Трением поршня о стенки сосуда и теплоёмкостью поршня пренебречь.

Пошаговое решение:

• Пусть первоначальный объем гелия равен \( V_1 \), а после расширения он занимает весь объем сосуда \( V_2 = 2V_1 \).
• Первоначальная температура \( T_1 = 27 \,^{\circ}C = 300 \,K \).
• Так как процесс адиабатический, то выполняется уравнение Пуассона: \( p_1V_1^{\gamma} = p_2V_2^{\gamma} \), где \( \gamma = \frac{5}{3} \) для одноатомного газа (гелия).
• Поскольку поршень находится в равновесии, давление гелия под поршнем уравновешивается давлением над поршнем, которое равно нулю (вакуум). После проникновения гелия в верхнюю часть, давление становится одинаковым в обеих частях сосуда.
• Следовательно, \( p_1V_1 =
  u RT_1 \) и \( p_2V_2 =
  u RT_2 \), где \(
  u \) — количество вещества гелия, R — газовая постоянная.
• Разделим уравнения: \( \frac{p_1V_1}{p_2V_2} = \frac{T_1}{T_2} \). Из уравнения адиабаты: \( p_1V_1^{\gamma} = p_2V_2^{\gamma} \). Выразим отношение давлений: \( \frac{p_1}{p_2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma} = 2^{\frac{5}{3}} \).
• Теперь подставим это в уравнение: \( \frac{T_1}{T_2} = \frac{p_1V_1}{p_2V_2} = \frac{2^{\frac{5}{3}}V_1}{2V_1} = 2^{\frac{5}{3} - 1} = 2^{\frac{2}{3}} \).
• Выразим конечную температуру: \( T_2 = \frac{T_1}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{300}{2^{\frac{2}{3}}} \approx \frac{300}{1.587} \approx 189 \,K \).
• Переведем в градусы Цельсия: \( t_2 = T_2 - 273.15 \approx 189 - 273.15 \approx -84 \,^{\circ}C \).

Ответ: -84 °C