Реши задачу и запиши ответ Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 12 и один из углов равен 120°, вписан в окружность. Найди диаметр этой окружности. Ответ:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 12, ∠B = 120°. Так как треугольник вписан в окружность, то можно воспользоваться теоремой синусов для нахождения радиуса описанной окружности.

Найдем угол A (или C), зная, что сумма углов треугольника равна 180°:

$$ ∠A = ∠C = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30° $$

По теореме синусов:

$$ \frac{AC}{\sin{B}} = 2R $$

Выразим сторону AC по теореме косинусов:

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}\\ AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos{120°}\\ AC^2 = 144 + 144 - 288 \cdot (-\frac{1}{2})\\ AC^2 = 288 + 144 = 432\\ AC = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} $$

Подставим в теорему синусов:

$$ \frac{12\sqrt{3}}{\sin{120°}} = 2R $$

Так как $$sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, то:

$$ \frac{12\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R\\ 12\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R\\ 12 \cdot 2 = 2R\\ 24 = 2R\\ R = 12 $$

Диаметр окружности равен:

$$ D = 2R = 2 \cdot 12 = 24 $$

Ответ: 24