8.16.5. Реши задачу и запиши ответ Цепочка из двух последовательно соединенных резисторов подключена к источнику постоянного напряжения U = 12 В. Сопротивление первого из них R₁ = 9 Ом. При каком значении сопротивления R₂ второго резистора тепловая мощность, выделяющаяся на нём, будет равна Р₂ = 3 Вт? Какая мощность Р₁ будет при этом выделяться на первом резисторе? Запиши ответы относительно возрастания R₂: Оrser: 1) R₂ = Ом, Р₁ = Вт; 2) R₂ = Ом; Р₁ = Вт.

Ответ: 3 Ом, 1 Вт; 27 Ом, 3 Вт

Решение

1. Находим силу тока в цепи при P₂ = 3 Вт: \[ P_2 = I^2 \cdot R_2 \] \[ I = \sqrt{\frac{P_2}{R_2}} \] Также, известно, что общее напряжение равно: \[ U = I \cdot (R_1 + R_2) \]
2. Выразим R₂ через известные величины: \[ \sqrt{\frac{P_2}{R_2}} = \frac{U}{R_1 + R_2} \] Возведем обе части в квадрат: \[ \frac{P_2}{R_2} = \frac{U^2}{(R_1 + R_2)^2} \] \[ P_2(R_1 + R_2)^2 = U^2R_2 \] \[ P_2(R_1^2 + 2R_1R_2 + R_2^2) = U^2R_2 \] Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение относительно R₂: \[ P_2R_2^2 + (2P_2R_1 - U^2)R_2 + P_2R_1^2 = 0 \] Подставляем известные значения: \[ 3R_2^2 + (2 \cdot 3 \cdot 9 - 12^2)R_2 + 3 \cdot 9^2 = 0 \] \[ 3R_2^2 - 90R_2 + 243 = 0 \] Разделим уравнение на 3: \[ R_2^2 - 30R_2 + 81 = 0 \]
3. Решаем квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 900 - 324 = 576 \] Корни: \[ R_{2_1} = \frac{30 + \sqrt{576}}{2} = \frac{30 + 24}{2} = 27 \text{ Ом} \] \[ R_{2_2} = \frac{30 - \sqrt{576}}{2} = \frac{30 - 24}{2} = 3 \text{ Ом} \]
4. Вычисляем силу тока для каждого значения R₂: Для R₂ = 3 Ом: \[ I = \frac{12}{9 + 3} = \frac{12}{12} = 1 \text{ А} \] Для R₂ = 27 Ом: \[ I = \frac{12}{9 + 27} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \text{ А} \]
5. Вычисляем мощность на первом резисторе для каждого случая: Для R₂ = 3 Ом: \[ P_1 = I^2 \cdot R_1 = 1^2 \cdot 9 = 9 \text{ Вт} \] Для R₂ = 27 Ом: \[ P_1 = I^2 \cdot R_1 = (\frac{1}{3})^2 \cdot 9 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1 \text{ Вт} \] Нужно наоборот, R2 = 3 Ом, мощность на нем 3 Вт, следовательно I = 1А, следовательно на первом резисторе мощность будет 1*1*9 = 9 Вт. И наоборот. Для R2 = 3 Ом: \[ I = \sqrt{\frac{3}{3}} = 1 \text{ А} \] \[ P_1 = 1^2 \cdot 9 = 9 \text{ Вт} \] Для R2 = 27 Ом: \[ I = \sqrt{\frac{3}{27}} = \frac{1}{3} \text{ А} \] \[ P_1 = (\frac{1}{3})^2 \cdot 9 = 1 \text{ Вт} \]
6. Сортируем ответы по возрастанию R₂: 1) R₂ = 3 Ом, Р₁ = 9 Вт 2) R₂ = 27 Ом, Р₁ = 1 Вт

Ответ: 3 Ом, 9 Вт; 27 Ом, 1 Вт

Ответ: 3 Ом, 9 Вт; 27 Ом, 1 Вт