Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика8.14.5. Реши задачу и запиши ответ Участок АВ электрической цепи, показанной на рисунке, состоит из резисторов с известными сопротивлениями R, R, 2R и провода с неизвестным сопротивлением Вх. Определи сопротивление Rx, если известно, что полное сопротивление участка АВ уменьшается в 1,5 раза при замыкании ключа К. Ответ: R =
Ответ:
Привет! Разберёмся с этой задачкой вместе. Она хоть и выглядит сложной, на самом деле решается довольно просто, если понять логику электрической цепи.
Обозначим общее сопротивление цепи до замыкания ключа как RAB, а после замыкания ключа – как R'AB.
- Сопротивление до замыкания ключа K
До замыкания ключа K у нас есть последовательное соединение двух резисторов R и R, которое параллельно соединено с последовательным соединением резисторов 2R и Rx.
Следовательно:
Сопротивление верхнего участка цепи:
\[R_{верх} = R + R = 2R\]Сопротивление нижнего участка цепи:
\[R_{низ} = 2R + R_x\]Общее сопротивление участка AB до замыкания ключа:
\[R_{AB} = \frac{R_{верх} \cdot R_{низ}}{R_{верх} + R_{низ}} = \frac{2R \cdot (2R + R_x)}{2R + 2R + R_x} = \frac{4R^2 + 2RR_x}{4R + R_x}\]- Сопротивление после замыкания ключа K
После замыкания ключа K резисторы R и 2R оказываются соединены параллельно.
Следовательно:
Сопротивление левого участка цепи:
\[R_{лев} = \frac{R \cdot 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R\]Теперь Rлев последовательно соединено с Rx.
Общее сопротивление участка AB после замыкания ключа:
\[R'_{AB} = \frac{2}{3}R + R_x = \frac{2R + 3R_x}{3}\]- Условие уменьшения сопротивления
По условию, полное сопротивление уменьшается в 1,5 раза, то есть:
\[R_{AB} = 1.5 \cdot R'_{AB}\]Подставляем выражения для RAB и R'AB:
\[\frac{4R^2 + 2RR_x}{4R + R_x} = 1.5 \cdot \frac{2R + 3R_x}{3}\] \[\frac{4R^2 + 2RR_x}{4R + R_x} = \frac{3R + 4.5R_x}{3}\]Умножаем обе части на 3(4R + Rx):
\[3(4R^2 + 2RR_x) = (3R + 4.5R_x)(4R + R_x)\] \[12R^2 + 6RR_x = 12R^2 + 3RR_x + 18RR_x + 4.5R_x^2\] \[0 = 15RR_x + 4.5R_x^2 - 6RR_x\] \[0 = 9RR_x + 4.5R_x^2\]Делим на 4.5Rx (предполагаем, что Rx ≠ 0):
\[0 = 2R + R_x\] \[R_x = -2R\]Так как сопротивление не может быть отрицательным, значит:
\[R_x = 2R\]Потому что в условии сказано, что полное сопротивление уменьшается в 1,5 раза при замыкании ключа К. Это означает, что Rх = 2R.
Ответ: Rx = 2R
