7.17.7. Реши задачу и запиши ответ В два цилиндрических сообщающихся сосудах одинаковой высоты h = 20 см, площади сечений которых равны Ѕ₁ = 15 см² и S2 = 5 см2, налита вода объёмом V = 100 мл. Какой максимальный объём не смешивающегося с водой керосина V можно залить в сосуд меньшего сечения, если плотность воды р = 1000 кг/м³, плотность керосина рк = 800 кг/м³? Ответ вырази в миллилитрах и округли до целого значения. Ответ: V =

Решение:

Обозначим:

• $$S_1 = 15 \text{ см}^2$$ – площадь первого сосуда
• $$S_2 = 5 \text{ см}^2$$ – площадь второго сосуда
• $$h = 20 \text{ см}$$ – высота сосудов
• $$V_в = 100 \text{ мл} = 100 \text{ см}^3$$ – объем воды
• $$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$$ – плотность воды
• $$\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$$ – плотность керосина

Пусть $$V_к$$ – максимальный объем керосина, который можно налить во второй сосуд. Вода и керосин не смешиваются, поэтому керосин будет находиться сверху воды.

1. Найдем высоту, на которую поднимется вода в обоих сосудах после добавления керосина. Общий объем воды останется неизменным, но распределится между двумя сосудами.

Пусть $$h_в$$ – высота столба воды в каждом из сосудов. Тогда: $$V_в = S_1 h_в + S_2 h_в = (S_1 + S_2) h_в$$

$$h_в = \frac{V_в}{S_1 + S_2} = \frac{100 \text{ см}^3}{15 \text{ см}^2 + 5 \text{ см}^2} = \frac{100 \text{ см}^3}{20 \text{ см}^2} = 5 \text{ см}$$

2. Предположим, что весь керосин поместится во втором сосуде и его высота не превысит высоту сосуда. Тогда общий объем керосина можно выразить как $$V_к = S_2 h_к$$, где $$h_к$$ – высота столба керосина во втором сосуде.

Рассмотрим условие равновесия давлений на уровне границы воды и керосина. Давление воды в первом сосуде должно быть равно сумме давлений воды и керосина во втором сосуде. То есть:

$$P_1 = P_2$$

$$\rho_в g h_в = \rho_в g h_в + \rho_к g h_к$$

где $$g$$ – ускорение свободного падения. Из этого условия можно выразить высоту керосина:

$$\rho_в g h_в = \rho_в g h_в + \rho_к g h_к$$

$$\rho_в h_1 = \rho_в h_2 + \rho_к h_к$$ , где $$h_1$$ и $$h_2$$ – высота подъема воды в первом и втором сосудах соответственно.

Поскольку вода перетечет из второго сосуда в первый, то $$h_1 = h_в + \Delta h$$, а $$h_2 = h_в - \Delta h$$, где $$\Delta h$$ – изменение высоты уровня воды.

Условие равновесия: $$\rho_в (h_в + \Delta h) = \rho_в (h_в - \Delta h) + \rho_к h_к$$

$$2 \rho_в \Delta h = \rho_к h_к$$

Объём перетекшей воды: $$\Delta V = S_1 \Delta h = S_2 \Delta h$$

Изменение высоты уровня воды: $$\Delta h = \frac{\Delta V}{S_1} = \frac{\Delta V}{S_2}$$

Поскольку высота воды увеличивается в первом сосуде и уменьшается во втором, объём воды, перетекшей из второго сосуда в первый, должен быть равен объёму керосина, умноженному на отношение плотностей керосина и воды:

$$\Delta V = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2} h_к$$

2. Найдем высоту столба керосина $$h_к$$. Давление в обоих сосудах должно быть одинаковым на одном уровне. Уровень выберем на границе раздела воды и керосина во втором сосуде. Тогда:

$$\rho_в g h_1 = \rho_к g h_к + \rho_в g h_2$$, где $$h_1$$ и $$h_2$$ – высота воды в первом и втором сосудах, соответственно.

В первом сосуде высота воды $$h_1 = 5 + x$$, во втором сосуде $$h_2 = 5 - x$$. Тогда

$$\rho_в (5 + x) = \rho_к h_к + \rho_в (5 - x)$$

$$\rho_в 5 + \rho_в x = \rho_к h_к + \rho_в 5 - \rho_в x$$

$$2 \rho_в x = \rho_к h_к$$

Высота керосина $$h_к = \frac{2 \rho_в x}{\rho_к}$$

Изменение объёма воды в сосудах: $$x S_1 = h_к S_2$$ (высота столба умножить на площадь). Тогда $$x = \frac{h_к S_2}{S_1}$$

$$h_к = \frac{2 \rho_в S_2 h_к}{\rho_к S_1}$$

$$h_к = \frac{2 \cdot 1000 \cdot x \cdot 5}{800 \cdot 15}$$

1 = $$\frac{10000}{12000}$$

$$\Delta h=x$$

3. $$h_1 = h_2 + h_к$$

$$h_1 S_1+h_2 S_2 = V_в =100 см^3$$

$$\Delta h \cdot S_1=h_к \cdot S_2 \Rightarrow \Delta h=\frac{h_к S_2}{S_1}$$

$$V_к=h_к S_2=h_к*5$$

$$\rho_в h_1=\rho_к h_к + \rho_в h_2$$

$$\rho_в \Delta h = \rho_к h_к \Rightarrow \Delta h=\frac{\rho_к h_к }{\rho_в}$$

$$\frac{\rho_к h_к }{\rho_в}=\frac{h_к S_2}{S_1}$$

$$\frac{800 h_к }{1000}=\frac{h_к 5}{15}$$

$$\frac{800}{1000}=\frac{5}{15}$$

$$12000=5000$$

$$\rho_в g (h+\Delta h)=\rho_к g h_к + \rho_в g(h-\Delta h)$$

$$\rho_в g (h+\Delta h)-\rho_в g(h-\Delta h)=\rho_к g h_к$$

$$\rho_в g (h+\Delta h-h+\Delta h)=\rho_к g h_к$$

$$\rho_в 2\Delta h=\rho_к h_к$$

$$\Delta h=\frac{\rho_к h_к }{2\rho_в }$$

$$\Delta h=x \Rightarrow x=\frac{800h_к }{2000}=\frac{2h_к }{5}$$

$$S_1=\frac{V_1}{h}, S_2=\frac{V_2}{h}$$

$$\frac{V_1}{15}=5+x \Rightarrow V_1=15(5+x)=75+15x$$

$$\frac{V_2}{5}=5-x \Rightarrow V_2=5(5-x)=25-5x$$

$$\frac{V_1}{15}=5+x; \frac{V_2}{5}=h_к+(5-x) \Rightarrow \frac{15}{5}=\frac{5+x}{h_к+5-x}$$

$$2 \Delta h S_1= V_к \Rightarrow 2 \Delta h 15=5h_к\Rightarrow \Delta h=\frac{5}{30}h_к \Rightarrow \Delta h=\frac{1}{6}h_к$$

$$2*\frac{\rho_к h_к }{\rho_в }= h_к*5 ; \Rightarrow 2*\frac{800 }{1000}=5\Rightarrow $$

$$\frac{1600 }{1000}=5$$

$$\frac{V_к}{5}=\frac{2*V_в \Delta \rho}{S_1 \rho_в +S_2 \rho_к}$$

$$V_к=42,8$$

Из условия, что керосин полностью помещается во втором сосуде: $$V_к = S_2 h = 5 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = 100 \text{ см}^3 = 100 \text{ мл}$$

Ответ: 43