7.17.5. Реши задачу и запиши ответ В левом колене U-образной трубки с закрытым краном К налита вода, в правом - керосин. Уровни жидкостей одинаковы и равны һ = 10 см. Определи разность уровней жидкостей в коленах Дћ после открытия крана, если известно, что плотность воды ре = 1000 кг/м³, плотность керосина рк = 800 кг/м³, а жидкости из сосудов не выливаются. Ответ вырази в сантиметрах и округли до целого значения. Ответ: Дh = CM. h K

Решение:

Дано:

• $$\rho_\text{в} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$$ – плотность воды;
• $$\rho_\text{к} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$$ – плотность керосина;
• $$h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$$ – высота столба жидкости в коленах до открытия крана.

Найти: $$\Delta h$$ – разность уровней жидкости в коленах после открытия крана.

Решение:

После открытия крана давление в обеих трубках на одном уровне должно быть одинаковым. Пусть высота столба воды равна $$h_\text{в}$$, а высота столба керосина равна $$h_\text{к}$$. Тогда:

$$P = \rho_\text{в} g h_\text{в} = \rho_\text{к} g h_\text{к}$$, где $$g$$ – ускорение свободного падения.

$$h_\text{в} = \frac{\rho_\text{к}}{\rho_\text{в}} h_\text{к}$$.

Учитывая, что общий столб жидкости в обоих коленах остался прежним:

$$h_\text{в} + h_\text{к} = 2h$$.

Подставим выражение для $$h_\text{в}$$:

$$\frac{\rho_\text{к}}{\rho_\text{в}} h_\text{к} + h_\text{к} = 2h$$.

$$h_\text{к} (\frac{\rho_\text{к}}{\rho_\text{в}} + 1) = 2h$$.

$$h_\text{к} = \frac{2h}{\frac{\rho_\text{к}}{\rho_\text{в}} + 1} = \frac{2h}{\frac{\rho_\text{к} + \rho_\text{в}}{\rho_\text{в}}} = \frac{2h \rho_\text{в}}{\rho_\text{к} + \rho_\text{в}}$$.

Подставим числовые значения:

$$h_\text{к} = \frac{2 \cdot 0.1 \cdot 1000}{800 + 1000} = \frac{200}{1800} = \frac{1}{9} \text{ м} \approx 0.11 \text{ м} = 11 \text{ см}$$.

$$h_\text{в} = 2h - h_\text{к} = 20 - 11 = 9 \text{ см}$$.

Разность уровней жидкости:

$$\Delta h = h_\text{к} - h_\text{в} = 11 - 9 = 2 \text{ см}$$.

Ответ: 2 см