7.17.5. Реши задачу и запиши ответ В левом колене V-образной трубки с закрытым краном К налита вода, в правом - керосин. Уровни жидкостей одинаковы и равны h = 10 см. Определи разность уровней жидкостей в коленах Дһ после открытия крана, если известно, что плотность воды р₃ = 1000 кг/м³, плотность керосина рк = 800 кг/м³, а жидкости из сосудов не выливаются. Ответ вырази в сантиметрах и

• Высота столба жидкости в обоих коленах: h = 10 см = 0.1 м
• Плотность воды: \(\rho_\text{в} = 1000 \,\text{кг/м}^3\)
• Плотность керосина: \(\rho_\text{к} = 800 \,\text{кг/м}^3\)

• Разность уровней жидкости после открытия крана: \(\Delta h\)

1. Давление на уровне границы жидкостей должно быть одинаковым. Обозначим высоту столба воды после открытия крана как \(h_\text{в}\), а высоту столба керосина как \(h_\text{к}\). Тогда: \[P_\text{в} = P_\text{к}\] \[\rho_\text{в} \cdot g \cdot h_\text{в} = \rho_\text{к} \cdot g \cdot h_\text{к}\]
2. Так как общий уровень жидкости остаётся прежним (жидкости не выливаются), можем записать: \[h_\text{в} + h_\text{к} = 2h\] \[h_\text{к} = 2h - h_\text{в}\]
3. Подставим это выражение в уравнение давлений: \[\rho_\text{в} \cdot h_\text{в} = \rho_\text{к} \cdot (2h - h_\text{в})\] \[\rho_\text{в} \cdot h_\text{в} = 2 \rho_\text{к} \cdot h - \rho_\text{к} \cdot h_\text{в}\] \[(\rho_\text{в} + \rho_\text{к}) \cdot h_\text{в} = 2 \rho_\text{к} \cdot h\] \[h_\text{в} = \frac{2 \rho_\text{к} \cdot h}{\rho_\text{в} + \rho_\text{к}}\]
4. Теперь подставим известные значения: \[h_\text{в} = \frac{2 \cdot 800 \,\text{кг/м}^3 \cdot 0.1 \,\text{м}}{1000 \,\text{кг/м}^3 + 800 \,\text{кг/м}^3} = \frac{160}{1800} \,\text{м} = \frac{16}{180} \,\text{м} = \frac{4}{45} \,\text{м}\] \[h_\text{в} \approx 0.0889 \,\text{м} = 8.89 \,\text{см}\]
5. Найдём высоту столба керосина: \[h_\text{к} = 2h - h_\text{в} = 2 \cdot 10 \,\text{см} - 8.89 \,\text{см} = 20 \,\text{см} - 8.89 \,\text{см} = 11.11 \,\text{см}\]
6. Разность уровней \(\Delta h\) будет равна: \[\Delta h = h_\text{к} - h_\text{в} = 11.11 \,\text{см} - 8.89 \,\text{см} = 2.22 \,\text{см}\]

Ответ: 2.22 см